01 - Nas velocidades das rodovias, aproximadamente, metade da potência gerada pelo motor do carro é usada para vencer o arrasto aerodinâmico e, portanto, o consumo de combustível é, aproximadamente, proporcional à força de arrasto em uma estrada horizontal. Determine o aumento percentual no consumo de combustível de um carro por unidade de tempo quando uma pessoa que normalmente anda a 55 \mathrm{mi} / \mathrm{h} agora começa a andar a 75 \mathrm{mi} / \mathrm{h}.

Passo 1

O enunciado pede o aumento percentual no consumo de combustível por unidade de tempo quando a velocidade passa de 55\\ \mathrm{mi/h} para 75\\ \mathrm{mi/h}. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\;v_1 = 55\\ \mathrm{mi/h} (velocidade inicial),
\;v_2 = 75\\ \mathrm{mi/h} (velocidade final),
e o enunciado afirma que o consumo por unidade de tempo é aproximadamente proporcional à força de arrasto aerodinâmico.

Passo 2

Mini-aula sobre arrasto: a força de arrasto aerodinâmico para um corpo em movimento através do ar tem a forma
F_D = \tfrac{1}{2} C_D \rho A v^2,
onde \;F_D é a força de arrasto, \;C_D é o coeficiente de arrasto (adimensional), \;\rho é a densidade do ar, \;A é a área frontal e \;v é a velocidade. Essa fórmula mostra por que o arrasto cresce com o quadrado da velocidade: a pressão dinâmica é proporcional a v^2. Como o enunciado diz que o consumo por unidade de tempo é aproximadamente proporcional a F_D, concluímos que o consumo por unidade de tempo é aproximadamente proporcional a v^2. Observação importante: constantes como \tfrac{1}{2}C_D\rho A não afetam percentuais pois se cancelam na razão.

Passo 3

Usando a proporcionalidade, a razão entre o consumo por unidade de tempo na velocidade \;v_2 e na velocidade \;v_1 é
\frac{\text{consumo em }v_2}{\text{consumo em }v_1}=\frac{v_2^2}{v_1^2}.
O aumento percentual é dado por
\frac{v_2^2-v_1^2}{v_1^2}\times 100\%.

Passo 4

Substituindo os valores \;v_1=55 e \;v_2=75:
v_1^2 = 55^2 = 3025,
v_2^2 = 75^2 = 5625.
A diferença é 5625-3025=2600.

Passo 5

Calcule a fração da elevação:
\frac{v_2^2-v_1^2}{v_1^2}=\frac{2600}{3025}.
Simplificando dividindo numerador e denominador por 25:
\frac{2600}{3025}=\frac{104}{121}.

Passo 6

Converta em porcentagem:
\frac{104}{121}\approx 0{,}859504\dots
Multiplicando por 100\% obtemos aproximadamente 85{,}95\%. Em linguagem de prova, pode-se dizer que o consumo por unidade de tempo aumenta cerca de 86\%.

Resposta

\approx85{,}95\%

Exercícios relacionados