A diferença de cotas entre dois tanques de um determinado tratamento químico é de 5 metros. Os tanques são abertos para a atmosfera. O comprimento da tubulação que os liga é de 18 metros. Os primeiros 8 metros dessa tubulação têm diâmetro interno de 100 mm , e os restantes 10 metros têm diâmetro de 50 mm . Despreze as perdas menores e considere que o coeficiente de fricção (Moody) vale \mathrm{f}=0,02 (constante nos dois trechos). Considere \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} 2. O fluido de trabalho é água, e o regime é permanente.
Nessa situação, a vazão, em m³/s, vale
A 0,0087
B 0,0098
C 0,0110
D) 0,0125
E 0,0132

Passo 1

O enunciado pede a vazão (em m³/s) que circula permanentemente entre dois tanques abertos à atmosfera, sabendo que a diferença de cotas entre os tanques é de \,5\\ \mathrm{m}\,. Dados fornecidos e relevantes:
\begin{aligned} &\Delta z = 5\\ \mathrm{m}\quad(\text{diferença de cotas})\\\ &\text{comprimento do trecho 1: }L_1=8\\ \mathrm{m},\quad D_1=100\\ \mathrm{mm}=0{,}1\\ \mathrm{m}\\\ &\text{comprimento do trecho 2: }L_2=10\\ \mathrm{m},\quad D_2=50\\ \mathrm{mm}=0{,}05\\ \mathrm{m}\\\ &\text{coeficiente de atrito (Moody): }f=0{,}02\\ (\text{constante})\\\ &g=10\\ \mathrm{m/s^2}\\\ &\text{fluido: água (densidade cancela nas equações usadas)}\\\ &\text{desprezar perdas menores; regime permanente; tanques abertos à atmosfera.} \end{aligned}çáçõà
A pergunta: qual é a vazão Q (escolha entre as alternativas A–E)?

Passo 2

Estratégia física e fórmula usada (explicação didática):
  • Como os tanques são abertos à atmosfera, a pressão superficial em ambos é a mesma (atmosférica). Aplicando Bernoulli entre a superfície livre do tanque alto e a superfície livre do tanque baixo, a diferença de energia por unidade de peso entre as superfícies é convertida em perda de carga por atrito na tubulação. Assim:
\Delta z = h_f,
onde \Delta z é a diferença de cotas (m) e h_f é a perda de carga total por atrito (m).
  • A perda de carga por atrito em um trecho de tubulação, pela fórmula de Darcy–Weisbach, é:
h_f = f\frac{L}{D}\cdot\frac{V^2}{2g},
onde f é o fator de atrito (adimensional), L é o comprimento do trecho (m), D é o diâmetro (m), V é a velocidade média do fluido nesse trecho (m/s) e g é a gravidade (m/s²).
  • Como há dois trechos em série, a perda total é a soma das perdas dos dois trechos:
\Delta z = f\frac{L_1}{D_1}\frac{V_1^2}{2g} + f\frac{L_2}{D_2}\frac{V_2^2}{2g}.
  • A vazão Q está ligada à velocidade média por Q = A V, com A=\dfrac{\pi D^2}{4}. Portanto
V = \frac{4Q}{\pi D^2}.
Vou usar essas relações para escrever tudo em função de Q e resolver.

Passo 3

Expressar as áreas dos dois trechos e as velocidades em função de Q.
A_1=\frac{\pi D_1^2}{4}=\frac{\pi (0{,}1)^2}{4}=\pi\cdot 0{,}0025,
A_2=\frac{\pi D_2^2}{4}=\frac{\pi (0{,}05)^2}{4}=\pi\cdot 0{,}000625.
Velocidades em função de Q:
V_1=\frac{Q}{A_1}=\frac{4Q}{\pi D_1^2},\qquad V_2=\frac{Q}{A_2}=\frac{4Q}{\pi D_2^2}.

Passo 4

Substituir V_1 e V_2 em h_f. A equação da conservação de carga fica:
\Delta z = f\frac{L_1}{D_1}\frac{1}{2g}\left(\frac{4Q}{\pi D_1^2}\right)^2 + f\frac{L_2}{D_2}\frac{1}{2g}\left(\frac{4Q}{\pi D_2^2}\right)^2.
Simplificando a expressão de cada termo:
\left(\frac{4Q}{\pi D^2}\right)^2=\frac{16Q^2}{\pi^2 D^4}.
Logo
\Delta z = \frac{f}{2g}\left[ \frac{L_1}{D_1}\cdot\frac{16Q^2}{\pi^2 D_1^4} + \frac{L_2}{D_2}\cdot\frac{16Q^2}{\pi^2 D_2^4}\right].
Fatorando Q^2 e constantes:
\Delta z = Q^2\cdot\frac{16f}{2g\pi^2}\left(\frac{L_1}{D_1^5} + \frac{L_2}{D_2^5}\right).
(Na prática eu vou calcular os termos numéricos passo a passo para não confundir.)

Passo 5

Substituir os números conhecidos. Primeiro calculo os fatores individuais mais simples:
\frac{L_1}{D_1}=\frac{8}{0{,}1}=80,\qquad \frac{L_2}{D_2}=\frac{10}{0{,}05}=200.
E 2g=20. Usando a forma direta com V^2 fica mais transparente numericamente:
\Delta z = f\left(\frac{L_1}{D_1}\right)\frac{V_1^2}{2g} + f\left(\frac{L_2}{D_2}\right)\frac{V_2^2}{2g} =0{,}02\cdot 80\cdot\frac{V_1^2}{20} + 0{,}02\cdot 200\cdot\frac{V_2^2}{20}.
Calcule as constantes multiplicativas:
0{,}02\cdot 80/20 = \frac{1{,}6}{20}=0{,}08,\qquad 0{,}02\cdot 200/20 = \frac{4}{20}=0{,}2.
Então
\Delta z = 0{,}08\,V_1^2 + 0{,}2\,V_2^2.

Passo 6

Agora substituo V_1 e V_2 em função de Q. Primeiro valores numéricos das relações V= k Q:
V_1=\frac{4Q}{\pi (0{,}1)^2}=\frac{4Q}{\pi\cdot 0{,}01}=\frac{4}{0{,}01\pi}\,Q \approx 127{,}3239545\,Q,
V_2=\frac{4Q}{\pi (0{,}05)^2}=\frac{4Q}{\pi\cdot 0{,}0025}=\frac{4}{0{,}0025\pi}\,Q \approx 509{,}2958180\,Q.
(Expliquei: quando o diâmetro é metade, a área é um quarto e a velocidade é 4 vezes maior; portanto V_2 é 4 vezes V_1, e V_2^2=16V_1^2.)
Agora substituo esses valores em \Delta z = 0{,}08V_1^2 + 0{,}2V_2^2:
5 = 0{,}08\cdot(127{,}32395\,Q)^2 + 0{,}2\cdot(509{,}29582\,Q)^2.

Passo 7

Calculo os quadrados e os coeficientes numéricos:
(127{,}32395)^2 \approx 16211{,}38938,\qquad (509{,}29582)^2 \approx 16\cdot 16211{,}38938 \approx 259382{,}23012.
Então
5 = 0{,}08\cdot 16211{,}38938\\ Q^2 + 0{,}2\cdot 259382{,}23012\\ Q^2.
Calculo cada termo:
0{,}08\cdot 16211{,}38938 \approx 1296{,}91115,
0{,}2\cdot 259382{,}23012 \approx 51876{,}44602.
Somando:
5 \approx (1296{,}91115 + 51876{,}44602)\,Q^2 = 53173{,}35717\\ Q^2.

Passo 8

Isolo Q^2 e tiro a raiz:
Q^2 = \frac{5}{53173{,}35717}\approx 9{,}4030\times 10^{-5},
Q \approx \sqrt{9{,}4030\times 10^{-5}}\approx 0{,}009698\\ \mathrm{m^3/s}.
Arredondando com a precisão coerente com as alternativas (e usando vírgula decimal, como no enunciado):
Q \approx 0{,}0097\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 9

Comparando com as alternativas fornecidas:
A 0{,}0087 \quad B 0{,}0098 \quad C 0{,}0110 \quad D 0{,}0125 \quad E 0{,}0132.
O valor calculado 0{,}009698\\ \mathrm{m^3/s} é numericamente mais próximo de 0{,}0098 (alternativa B).

Resposta

B 0{,}0098\\ \mathrm{m^3/s}

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