A diferença de cotas entre dois tanques de um determinado tratamento químico é de 5 metros. Os tanques são abertos para a atmosfera. O comprimento da tubulação que os liga é de 18 metros. Os primeiros 8 metros dessa tubulação têm diâmetro interno de 100 mm , e os restantes 10 metros têm diâmetro de 50 mm . Despreze as perdas menores e considere que o coeficiente de fricção (Moody) vale
(constante nos dois trechos). Considere
. O fluido de trabalho é água, e o regime é permanente.
Nessa situação, a vazão, em m³/s, vale
A 0,0087
B 0,0098
C 0,0110
D) 0,0125
E 0,0132
B 0,0098
C 0,0110
D) 0,0125
Passo 1
O enunciado pede a vazão (em m³/s) que circula permanentemente entre dois tanques abertos à atmosfera, sabendo que a diferença de cotas entre os tanques é de
. Dados fornecidos e relevantes:
A pergunta: qual é a vazão
(escolha entre as alternativas A–E)?
Passo 2
Estratégia física e fórmula usada (explicação didática):
- Como os tanques são abertos à atmosfera, a pressão superficial em ambos é a mesma (atmosférica). Aplicando Bernoulli entre a superfície livre do tanque alto e a superfície livre do tanque baixo, a diferença de energia por unidade de peso entre as superfícies é convertida em perda de carga por atrito na tubulação. Assim:
onde
é a diferença de cotas (m) e
é a perda de carga total por atrito (m).
- A perda de carga por atrito em um trecho de tubulação, pela fórmula de Darcy–Weisbach, é:
onde
é o fator de atrito (adimensional),
é o comprimento do trecho (m),
é o diâmetro (m),
é a velocidade média do fluido nesse trecho (m/s) e
é a gravidade (m/s²).
- Como há dois trechos em série, a perda total é a soma das perdas dos dois trechos:
- A vazão
está ligada à velocidade média por , com . Portanto
Vou usar essas relações para escrever tudo em função de
e resolver.
Passo 3
Expressar as áreas dos dois trechos e as velocidades em função de
.
Velocidades em função de
:
Passo 4
Substituir
e
em
. A equação da conservação de carga fica:
Simplificando a expressão de cada termo:
Logo
Fatorando
e constantes:
(Na prática eu vou calcular os termos numéricos passo a passo para não confundir.)
Passo 5
Substituir os números conhecidos. Primeiro calculo os fatores individuais mais simples:
E
. Usando a forma direta com
fica mais transparente numericamente:
Calcule as constantes multiplicativas:
Então
Passo 6
Agora substituo
e
em função de
. Primeiro valores numéricos das relações
:
(Expliquei: quando o diâmetro é metade, a área é um quarto e a velocidade é 4 vezes maior; portanto
é 4 vezes
, e
.)
Agora substituo esses valores em
:
Passo 7
Calculo os quadrados e os coeficientes numéricos:
Então
Calculo cada termo:
Somando:
Passo 8
Isolo
e tiro a raiz:
Arredondando com a precisão coerente com as alternativas (e usando vírgula decimal, como no enunciado):
Passo 9
Comparando com as alternativas fornecidas:
A \quad B
\quad C
\quad D
\quad E
.
A
O valor calculado
é numericamente mais próximo de
(alternativa B).
Resposta
B