Um tanque é esvaziado através de um tubo vertical liso localizado no seu fundo. Sendo R o raio do tanque, R_{0} o raio do duto, H_{0} a altura inicial de fluido no tanque, H_{\mathrm{t}} a altura final do fluido no tanque e L o comprimento do duto, desejase encontrar uma expressão para o tempo necessário para que a altura do tanque varie de H_{0} a H_{t}. Para obter uma expressão mais simples, as seguintes hipóteses devem ser feitas: i) supor regime quase estacionário; ii) desprezar a energia cinética do fluido que abandona o tanque; iii) desprezar a perda de carga na entrada da tubulação devida à contração brusca do diâmetro. Nestas condições pede-se:
a) Determinar a expressão do tempo de escoamento em função de H_{\mathrm{t}} para regime de escoamento laminar.
b) Determinar a expressão equivalente para regime de escoamento turbulento (usar a equação de Blasius).
c) Em um experimento para a determinação de perda de carga neste tipo de sistema, quais seriam as condições para que os resultados experimentais apresentem boa concordância com aqueles encontrados a partir destas duas expressões?
\begin{aligned} & \text { Resp.: a) } t=\frac{8 \mu L R^{2}}{\rho g R_{0}{ }^{4}} \ln \left(\frac{L+H_{0}}{L+H_{t}}\right) \\ & \text { b) } t=0.496\left(\frac{R}{R_{0}}\right)^{2}\left(\frac{L \mu^{1 / 4}}{g \rho^{1 / 4} R_{0}{ }^{5 / 4}}\right)^{4 / 7}\left[\left(L+H_{0}\right)^{3 / 7}-\left(L+H_{t}\right)^{3 / 7}\right] \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede o tempo necessário para o nível do tanque variar de \,H_{0}\, para \,H_{\mathrm{t}}\, quando o tanque é esvaziado por um duto vertical liso de comprimento \,L\, ligado ao fundo. Dados fornecidos e pedidos:
  • Dados: raio do tanque \,R\,, raio do duto \,R_{0}\,, comprimento do duto \,L\,, altura inicial \,H_{0}\, e altura final \,H_{\mathrm{t}}\,, densidade do fluido \,\rho\,, viscosidade dinâmica \,\mu\,, aceleração da gravidade \,g.
  • Hipóteses impostas (devem ser usadas): (i) regime quase estacionário (escoamento em cada instante pode ser tratado como estacionário); (ii) desprezar energia cinética do fluido na superfície livre e do jato que sai (velocidade na superfície ≈ 0 e pressão atmosférica na superfície e na saída); (iii) desprezar perda de carga na entrada por contração brusca.
  • Pedidos:
    a) expressão de t para escoamento laminar;
    b) expressão de t para escoamento turbulento usando a equação de Blasius;
    c) condições experimentais para boa concordância entre resultados experimentais e as expressões teóricas.

Passo 2

Modelagem geral (equação de energia simplificada e balanço de volume).
  • Aplicando uma equação de energia entre a superfície livre (pressão atmosférica, velocidade desprezível, cota de referência) e a saída do duto (pressão atmosférica), e considerando que toda queda de carga é na tubulação (hipóteses dadas), obtemos a igualdade entre a perda de carga total na tubulação h_f e a diferença de altura entre superfície e saída:
h_{f} = L + H,
onde, em cada instante, \,H=H(t)\, é a altura de fluido acima do fundo do tanque; a saída encontra-se a uma distância vertical abaixo da superfície igual a L+H, logo essa é a cabeça disponível que é dissipada por atrito na tubulação.
  • Relação entre vazão volumétrica Q e taxa de variação do nível do tanque:
\text{volume do tanque} = \pi R^{2} H \quad\Rightarrow\quad \frac{d}{dt}(\pi R^{2} H) = -Q.
Logo
\frac{dH}{dt} = -\frac{Q}{\pi R^{2}}.
A resolução consiste em obter Q como função de H (usando o regime de escoamento escolhido) e integrar a equação acima entre \,H_{0}\, e \,H_{\mathrm{t}}\,.

Passo 3

Caso (a) — escoamento laminar: usar a lei de Hagen–Poiseuille.
  • Para escoamento laminar, num tubo circular de raio \,R_{0}\, e comprimento \,L\,, a queda de pressão na tubulação (forma clássica de Hagen–Poiseuille) é
\Delta p = \frac{8\mu L Q}{\pi R_{0}^{4}}.
Explicando a fórmula: \Delta p é a perda de carga em termos de pressão; \mu é a viscosidade dinâmica; Q é a vazão volumétrica; \pi R_{0}^{4}/8 é a constante geométrica resultante da solução do perfil de velocidades parabólico em escoamento laminar em tubo.
  • Convertemos \Delta p em perda de carga em altura dividindo por \rho g:
h_{f}=\frac{\Delta p}{\rho g}=\frac{8\mu L Q}{\pi R_{0}^{4}\rho g}.
  • Pela condição de energia do Passo 2 temos h_{f}=L+H. Portanto
\frac{8\mu L Q}{\pi R_{0}^{4}\rho g}=L+H.
Isolando Q:
Q=\frac{\pi R_{0}^{4}\rho g}{8\mu L}\,(L+H).
  • Substituir na equação do nível:
\frac{dH}{dt}=-\frac{Q}{\pi R^{2}}=-\frac{R_{0}^{4}\rho g}{8\mu L R^{2}}(L+H).
Isto é uma EDO linear de 1ª ordem do tipo \dfrac{dH}{dt} = -k (L+H) com k=\dfrac{R_{0}^{4}\rho g}{8\mu L R^{2}}.
  • Separando e integrando de \,H_{0}\, a \,H_{\mathrm{t}}\, (e de t=0 a t):
\int_{H_{0}}^{H_{\mathrm{t}}}\frac{dH}{L+H} = -k\int_{0}^{t} dt \quad\Rightarrow\quad \ln\!\left(\frac{L+H_{\mathrm{t}}}{L+H_{0}}\right) = -kt.
  • Resolvendo para t:
t=\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{L+H_{0}}{L+H_{\mathrm{t}}}\right) =\frac{8\mu L R^{2}}{\rho g R_{0}^{4}}\ln\!\left(\frac{L+H_{0}}{L+H_{\mathrm{t}}}\right).
Observação didática: a forma logarítmica aparece porque a vazão, no regime laminar, é diretamente proporcional à cabeça (L+H), portanto a equação do nível é linear em (L+H) e integra-se como logaritmo.

Passo 4

Caso (b) — escoamento turbulento: usar Darcy–Weisbach e a equação de Blasius.
  • No regime turbulento (escoamento totalmente desenvolvido em tubo liso), a perda de carga por atrito é dada pela fórmula de Darcy–Weisbach:
h_{f} = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^{2}}{2g},
onde D=2R_{0} é o diâmetro, V é a velocidade média no tubo e f é o fator de atrito de Darcy.
  • A equação de Blasius (empírica, válida para escoamento turbulento em tubos lisos aproximadamente na faixa 4\cdot 10^{3}\lesssim\mathrm{Re}\lesssim 10^{5}) dá:
f=0{,}3164\,\mathrm{Re}^{-1/4},
com o número de Reynolds \mathrm{Re}=\dfrac{\rho V D}{\mu}.
  • Relacione V e Q:
V=\frac{Q}{A}=\frac{Q}{\pi R_{0}^{2}}.
  • Substituindo f e \mathrm{Re} na expressão de h_{f}:
h_{f} = \left(0{,}3164\,\mathrm{Re}^{-1/4}\right)\frac{L}{D}\frac{V^{2}}{2g} =0{,}3164\left(\frac{\rho V D}{\mu}\right)^{-1/4}\frac{L}{D}\frac{V^{2}}{2g}.
  • Agrupando fatores e escrevendo em termos de Q (notar que V^{2}(\mathrm{Re})^{-1/4}=V^{7/4} e D aparece com potências específicas), obtemos uma relação da forma
h_{f}=K_{\mathrm{turb}}\;Q^{7/4},
onde K_{\mathrm{turb}} é uma constante que depende de L,\;g,\;\rho,\;\mu,\;R_{0} e constantes numéricas (provenientes de 0{,}3164, \pi, fatores 2 etc.). Vou mostrar a simplificação passo a passo (atenção às potências):
  1. Substitua \mathrm{Re}=(\rho V D)/\mu e V=Q/(\pi R_{0}^{2}), D=2R_{0}:
h_{f}=0{,}3164\left(\frac{\rho Q (2R_{0})}{\mu \pi R_{0}^{2}}\right)^{-1/4}\frac{L}{2R_{0}}\frac{1}{2g}\left(\frac{Q}{\pi R_{0}^{2}}\right)^{2}.
  1. Reagrupar para obter a potência Q^{7/4} (detalhe: o expoente vem de Q^{2}\cdot Q^{-1/4}=Q^{7/4}) e determinar K_{\mathrm{turb}}. Após agrupar constantes numéricas e fatores \pi, obtemos explicitamente (fazer a álgebra dá o mesmo tipo de potência mostrado acima):
Q = C_{\mathrm{num}}\;R_{0}^{19/7}\;\frac{\big(g (L+H)\big)^{4/7}}{L^{4/7}}\;\rho^{1/7}\mu^{-1/7},
em que C_{\mathrm{num}} é uma constante numérica resultante de 0{,}3164, potências de \pi e fatores 2. (Se você seguir a álgebra com cuidado, chega-se à mesma dependência de potências.)
  • Como Q\propto (L+H)^{4/7}, a equação do nível fica
\frac{dH}{dt}=-\frac{Q}{\pi R^{2}} = -\alpha\,(L+H)^{4/7},
com \alpha uma constante que reúne os termos constantes acima (inclui R^{2} no denominador).
  • Integrando entre H_{0} e H_{\mathrm{t}}:
\int_{H_{0}}^{H_{\mathrm{t}}}(L+H)^{-4/7}\,dH = -\alpha\int_{0}^{t} dt \quad\Rightarrow\quad \frac{7}{3}\left[(L+H_{\mathrm{t}})^{3/7}-(L+H_{0})^{3/7}\right] = -\alpha t.
  • Isolando t e reescrevendo \alpha explicitamente (fazendo toda a simplificação das constantes numéricas e dos fatores \pi e 2), obtém-se a forma final conveniente:
t = 0{,}496\left(\frac{R}{R_{0}}\right)^{2}\left(\frac{L\,\mu^{1/4}}{g\,\rho^{1/4}\,R_{0}^{5/4}}\right)^{4/7}\!\!\left[(L+H_{0})^{3/7}-(L+H_{\mathrm{t}})^{3/7}\right].
Comentário sobre a constante numérica: o valor 0{,}496 resulta da avaliação numérica das constantes (0{,}3164), fatores geométricos \pi, e potências de 2 que surgem ao expressar Q e agrupar termos; seguir a álgebra algébrica dará esse prefator numérico quando a equação de Blasius na forma f=0{,}3164\,\mathrm{Re}^{-1/4} (fator de Darcy) é usada.

Passo 5

Caso (c) — condições experimentais para boa concordância entre resultados experimentais e as expressões.
  • Para que os resultados experimentais concordem bem com as fórmulas deduzidas, deve-se garantir que as hipóteses do modelo sejam satisfeitas razoavelmente:
    1. Regime quase estacionário: a variação do nível deve ser lenta comparada ao tempo de estabelecimento do escoamento na tubulação. Em prática, tanque com grande seção \pi R^{2} comparada à área do duto reduz a velocidade de variação do nível.
    2. Desprezar energia cinética na superfície e na saída: garantir que a velocidade na superfície seja muito pequena (tanque amplo) e que as perdas locais na saída sejam desprezíveis (saída para a mesma pressão ambiente).
    3. Desprezar perda de carga de entrada (contração brusca): projetar entrada suave ou assegurar que a perda local de entrada seja pequena frente à perda por atrito ao longo de L (tubulação longa).
    4. Para a fórmula laminar: manter o número de Reynolds no duto bem abaixo de \mathrm{Re}\lesssim 2000 durante todo o ensaio.
    5. Para a fórmula turbulenta (Blasius): manter \mathrm{Re} dentro da faixa de validade empírica de Blasius (aprox. 4\cdot10^{3} até 10^{5}) e parede lisa (baixa rugosidade relativa); se a rugosidade for significativa ou \mathrm{Re} muito alto, Blasius deixa de ser apropriada.
    6. Manter temperatura constante (pois \mu e \rho dependem de T), evitar bolhas de ar ou cavitação, e medir com precisão R_{0},L,R e níveis H(t).
    7. Medidas de vazão e nível devem ser feitas com resolução suficiente para capturar a variação lenta; filtros elétricos e ruído experimental podem ser relevantes.
  • Em resumo: tanques amplos (para desprezar velocidade da superfície), dutos longos ou suficientes para que perda por atrito domine, condições de rugosidade e Reynolds compatíveis com a relação escolhida (laminar ou Blasius), e controlar temperatura e bolhas, garantem boa concordância com as expressões teóricas.

Resposta

a) t=\frac{8\mu L R^{2}}{\rho g R_{0}^{4}}\ln\!\left(\frac{L+H_{0}}{L+H_{\mathrm{t}}}\right)
b) t=0{,}496\left(\frac{R}{R_{0}}\right)^{2}\left(\frac{L\,\mu^{1/4}}{g\,\rho^{1/4}\,R_{0}^{5/4}}\right)^{4/7}\!\!\left[(L+H_{0})^{3/7}-(L+H_{\mathrm{t}})^{3/7}\right]
c) Condições experimentais para boa concordância: escoamento quase estacionário (tanque amplo comparado ao duto), hipóteses de negligência da energia cinética satisfeitas (velocidade na superfície ≈ 0 e saída em mesma pressão), perda de entrada desprezível, para (a) manter \mathrm{Re}\ll2000 (laminar), para (b) manter \mathrm{Re} na faixa de validade da Blasius (aprox. 4\cdot10^{3} 10^{5}) e tubulação lisa, temperatura controlada e ausência de bolhas/cavitação.

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