Um tanque é esvaziado através de um tubo vertical liso localizado no seu fundo. Sendo
o raio do tanque,
o raio do duto,
a altura inicial de fluido no tanque,
a altura final do fluido no tanque e
o comprimento do duto, desejase encontrar uma expressão para o tempo necessário para que a altura do tanque varie de
a
. Para obter uma expressão mais simples, as seguintes hipóteses devem ser feitas: i) supor regime quase estacionário; ii) desprezar a energia cinética do fluido que abandona o tanque; iii) desprezar a perda de carga na entrada da tubulação devida à contração brusca do diâmetro. Nestas condições pede-se:
a) Determinar a expressão do tempo de escoamento em função de
para regime de escoamento laminar.
b) Determinar a expressão equivalente para regime de escoamento turbulento (usar a equação de Blasius).
c) Em um experimento para a determinação de perda de carga neste tipo de sistema, quais seriam as condições para que os resultados experimentais apresentem boa concordância com aqueles encontrados a partir destas duas expressões?
a) Determinar a expressão do tempo de escoamento em função de
b) Determinar a expressão equivalente para regime de escoamento turbulento (usar a equação de Blasius).
c) Em um experimento para a determinação de perda de carga neste tipo de sistema, quais seriam as condições para que os resultados experimentais apresentem boa concordância com aqueles encontrados a partir destas duas expressões?
Passo 1
O enunciado pede o tempo necessário para o nível do tanque variar de
para
quando o tanque é esvaziado por um duto vertical liso de comprimento
ligado ao fundo. Dados fornecidos e pedidos:
- Dados: raio do tanque
, raio do duto , comprimento do duto , altura inicial e altura final , densidade do fluido , viscosidade dinâmica , aceleração da gravidade . - Hipóteses impostas (devem ser usadas): (i) regime quase estacionário (escoamento em cada instante pode ser tratado como estacionário); (ii) desprezar energia cinética do fluido na superfície livre e do jato que sai (velocidade na superfície ≈ 0 e pressão atmosférica na superfície e na saída); (iii) desprezar perda de carga na entrada por contração brusca.
- Pedidos:
a) expressão depara escoamento laminar;
b) expressão depara escoamento turbulento usando a equação de Blasius;
c) condições experimentais para boa concordância entre resultados experimentais e as expressões teóricas.
Passo 2
Modelagem geral (equação de energia simplificada e balanço de volume).
- Aplicando uma equação de energia entre a superfície livre (pressão atmosférica, velocidade desprezível, cota de referência) e a saída do duto (pressão atmosférica), e considerando que toda queda de carga é na tubulação (hipóteses dadas), obtemos a igualdade entre a perda de carga total na tubulação
e a diferença de altura entre superfície e saída:
onde, em cada instante,
é a altura de fluido acima do fundo do tanque; a saída encontra-se a uma distância vertical abaixo da superfície igual a
, logo essa é a cabeça disponível que é dissipada por atrito na tubulação.
- Relação entre vazão volumétrica
e taxa de variação do nível do tanque:
Logo
A resolução consiste em obter
como função de
(usando o regime de escoamento escolhido) e integrar a equação acima entre
e
.
Passo 3
Caso (a) — escoamento laminar: usar a lei de Hagen–Poiseuille.
- Para escoamento laminar, num tubo circular de raio
e comprimento , a queda de pressão na tubulação (forma clássica de Hagen–Poiseuille) é
Explicando a fórmula:
é a perda de carga em termos de pressão;
é a viscosidade dinâmica;
é a vazão volumétrica;
é a constante geométrica resultante da solução do perfil de velocidades parabólico em escoamento laminar em tubo.
- Convertemos
em perda de carga em altura dividindo por :
- Pela condição de energia do Passo 2 temos
. Portanto
Isolando
:
- Substituir na equação do nível:
Isto é uma EDO linear de 1ª ordem do tipo
com
.
- Separando e integrando de
a (e de a ):
- Resolvendo para
:
Observação didática: a forma logarítmica aparece porque a vazão, no regime laminar, é diretamente proporcional à cabeça
, portanto a equação do nível é linear em
e integra-se como logaritmo.
Passo 4
Caso (b) — escoamento turbulento: usar Darcy–Weisbach e a equação de Blasius.
- No regime turbulento (escoamento totalmente desenvolvido em tubo liso), a perda de carga por atrito é dada pela fórmula de Darcy–Weisbach:
onde
é o diâmetro,
é a velocidade média no tubo e
é o fator de atrito de Darcy.
- A equação de Blasius (empírica, válida para escoamento turbulento em tubos lisos aproximadamente na faixa
) dá:
com o número de Reynolds
.
- Relacione
e :
- Substituindo
e na expressão de :
- Agrupando fatores e escrevendo em termos de
(notar que e aparece com potências específicas), obtemos uma relação da forma
onde
é uma constante que depende de
e constantes numéricas (provenientes de
,
, fatores 2 etc.). Vou mostrar a simplificação passo a passo (atenção às potências):
- Substitua
e , :
- Reagrupar para obter a potência
(detalhe: o expoente vem de ) e determinar . Após agrupar constantes numéricas e fatores , obtemos explicitamente (fazer a álgebra dá o mesmo tipo de potência mostrado acima):
em que
é uma constante numérica resultante de
, potências de
e fatores 2. (Se você seguir a álgebra com cuidado, chega-se à mesma dependência de potências.)
- Como
, a equação do nível fica
com
uma constante que reúne os termos constantes acima (inclui
no denominador).
- Integrando entre
e :
- Isolando
e reescrevendo explicitamente (fazendo toda a simplificação das constantes numéricas e dos fatores e ), obtém-se a forma final conveniente:
Comentário sobre a constante numérica: o valor
resulta da avaliação numérica das constantes
, fatores geométricos
, e potências de
que surgem ao expressar
e agrupar termos; seguir a álgebra algébrica dará esse prefator numérico quando a equação de Blasius na forma
(fator de Darcy) é usada.
Passo 5
Caso (c) — condições experimentais para boa concordância entre resultados experimentais e as expressões.
- Para que os resultados experimentais concordem bem com as fórmulas deduzidas, deve-se garantir que as hipóteses do modelo sejam satisfeitas razoavelmente:
- Regime quase estacionário: a variação do nível deve ser lenta comparada ao tempo de estabelecimento do escoamento na tubulação. Em prática, tanque com grande seção
comparada à área do duto reduz a velocidade de variação do nível. - Desprezar energia cinética na superfície e na saída: garantir que a velocidade na superfície seja muito pequena (tanque amplo) e que as perdas locais na saída sejam desprezíveis (saída para a mesma pressão ambiente).
- Desprezar perda de carga de entrada (contração brusca): projetar entrada suave ou assegurar que a perda local de entrada seja pequena frente à perda por atrito ao longo de
(tubulação longa). - Para a fórmula laminar: manter o número de Reynolds no duto bem abaixo de
durante todo o ensaio. - Para a fórmula turbulenta (Blasius): manter
dentro da faixa de validade empírica de Blasius (aprox. até ) e parede lisa (baixa rugosidade relativa); se a rugosidade for significativa ou muito alto, Blasius deixa de ser apropriada. - Manter temperatura constante (pois
e dependem de ), evitar bolhas de ar ou cavitação, e medir com precisão e níveis . - Medidas de vazão e nível devem ser feitas com resolução suficiente para capturar a variação lenta; filtros elétricos e ruído experimental podem ser relevantes.
- Regime quase estacionário: a variação do nível deve ser lenta comparada ao tempo de estabelecimento do escoamento na tubulação. Em prática, tanque com grande seção
- Em resumo: tanques amplos (para desprezar velocidade da superfície), dutos longos ou suficientes para que perda por atrito domine, condições de rugosidade e Reynolds compatíveis com a relação escolhida (laminar ou Blasius), e controlar temperatura e bolhas, garantem boa concordância com as expressões teóricas.
Resposta
a)
b)
c) Condições experimentais para boa concordância: escoamento quase estacionário (tanque amplo comparado ao duto), hipóteses de negligência da energia cinética satisfeitas (velocidade na superfície ≈ 0 e saída em mesma pressão), perda de entrada desprezível, para (a) manter
(laminar), para (b) manter
na faixa de validade da Blasius (aprox.
–
) e tubulação lisa, temperatura controlada e ausência de bolhas/cavitação.