Água aquecida a
escoa de um tanque de nível constante, através de um cano de aço, Sch 40, de 2 in (
), emergindo deste
abaixo do nível do tanque. Tanto o tanque como a saída da tubulação são abertas à atmosfera. O comprimento equivalente do sistema de tubulação é de 45.11 m .
a) Calcular a vazão volumétrica, desprezando a perda na entrada da tubulação e usando o diagrama de Moody.
b) Repetir o cálculo do item (a) usando o diagrama de von Kárman (e desprezando a o termo de energia cinética.)
c) Calcular o erro cometido ao desprezar o termo de energia cinética.
Resp.: a)
a) Calcular a vazão volumétrica, desprezando a perda na entrada da tubulação e usando o diagrama de Moody.
b) Repetir o cálculo do item (a) usando o diagrama de von Kárman (e desprezando a o termo de energia cinética.)
c) Calcular o erro cometido ao desprezar o termo de energia cinética.
Resp.: a)
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede o que se segue.
Dados fornecidos:
Perguntas:
a) Calcular a vazão volumétrica desprezando a perda de entrada e usando o diagrama de Moody.
b) Repetir o cálculo do item (a) usando o diagrama de von Kárman e desprezando o termo de energia cinética.
c) Calcular o erro cometido ao desprezar o termo de energia cinética.
a) Calcular a vazão volumétrica desprezando a perda de entrada e usando o diagrama de Moody.
b) Repetir o cálculo do item (a) usando o diagrama de von Kárman e desprezando o termo de energia cinética.
c) Calcular o erro cometido ao desprezar o termo de energia cinética.
Observação: converti o diâmetro de polegadas para metros (conversão mostrada no próximo passo) e adotei a densidade aproximada da água
(valor comumente usado em exercícios quando não fornecido explicitamente), portanto a viscosidade cinemática será
. Também considerei a rugosidade absoluta típica de tubos de aço comercial
para estimar o fator de atrito na prática (isto será declarado e usado adiante).
Passo 2
Primeiras conversões e parâmetros geométricos e físicos — vamos transformar tudo para o SI e calcular quantidades básicas que usaremos.
Diâmetro interno em metros:
Área da seção transversal do tubo:
Viscosidade cinemática (usando
):
Rugosidade relativa (com
, valor típico para aço comercial):
Comprimento equivalente adimensional:
Constante gravitacional:
Agora sabemos as quantidades básicas para montar as equações de energia e calcular Reynolds e fator de atrito.
Passo 3
Enunciado físico e equação de energia simplificada (passo teórico): explicar a fórmula que usaremos.
A equação de Bernoulli entre a superfície livre do tanque (padrão atmosférico) e a saída (também à atmosfera), incluindo perda por atrito total
, fica (com velocidade na superfície do tanque desprezível):
Como
(atmosfera),
(superfície grande) e
, obtemos
onde
é a velocidade média no tubo e
.
A perda por atrito numa tubulação equivalente é dada pela fórmula de Darcy–Weisbach:
onde
é o fator de atrito de Darcy (função de
e
).
Substituindo em Bernoulli:
Isto é a equação que resolveremos no item (a). Para o item (b), quando se pede desprezar o termo de energia cinética, significa retirar o termo
fora do
na soma, ou seja:
Observação didática: o termo
é a carga cinética (ou cabeça de velocidade). Quando o reservatório é grande, a contribuição desta cabeça em relação à carga disponível pode ser pequena, mas precisamos verificar o erro ao desprezá-la.
Passo 4
Como obter
(fator de atrito) para usar nas equações: diagrama de Moody, Colebrook e aproximação explícita.
- O diagrama de Moody relaciona
, e . Ler o Moody dá iterativamente: você precisa de (que depende de ) e de . - Para cálculo numérico prático, usamos uma expressão explícita que aproxima o diagrama de Moody com boa precisão: a fórmula de Swamee–Jain (uma aproximação explícita frequentemente usada):
Aqui
. Esta fórmula nos permite iterar numericamente até convergir em
e
. Isto é equivalente, para propósitos práticos, a usar o diagrama de Moody (ela é uma representação algébrica do mesmo comportamento).
Vou usar a Swamee–Jain para o item (a) (isto equivale a obter
pelo Moody) e, para o item (b), também usarei uma relação consistente com o diagrama de von Kármán (na prática isso significa usar a mesma dependência
— o que o diagrama de von Kármán fornece graficamente — mas agora resolvendo a equação sem o termo cinético). Assim a diferença entre (a) e (b) virá apenas de incluir ou não a cabeça de velocidade na equação de energia, que é exatamente o pedido do enunciado.
Passo 5
Resolução numérica do item (a) — incluir o termo de energia cinética e usar o “Moody” (Swamee–Jain).
Equação a resolver:
Iteração (procedimento): escolher um
inicial, calcular
, então
, atualizar
por Swamee–Jain, repetir até convergência.
Cálculo passo a passo (valores arredondados para mostrar a ideia; a convergência final usa valores mais próximos):
- chute inicial
. - com
, calcula-se
- Reynolds correspondente:
- atualizar
por Swamee–Jain:
- repetir: com
obtém-se , , recalcula . - nova iteração dá
, . Converge rapidamente.
Valor convergente (com precisão prática):
Vazão volumétrica:
Convertendo para litros por minuto:
Comentário amigo: o enunciado dá como resposta
. Nosso cálculo detalhado com as suposições declaradas (especialmente
e
) fornece cerca de
. Diferenças pequenas podem vir de valores convencionais diferentes de rugosidade, densidade ou arredondamentos ao usar o diagrama de Moody manualmente.
Passo 6
Resolução numérica do item (b) — usar o diagrama de von Kármán (representado numericamente pela mesma dependência
que usamos) e desprezar o termo de energia cinética.
Agora a equação reduz-se a:
Novamente é preciso iterar porque
depende de
(que depende de
). Usarei novamente a fórmula de Swamee–Jain como aproximação numérica do diagrama de von Kármán (o diagrama gráfico e as fórmulas explícitas representam a mesma física).
Iteração (resumida):
- chute inicial
:
- com
: , , . - repetir uma vez mais dá convergência em torno de
Vazão volumétrica:
Em litros por minuto:
Comentário prático: ao desprezarmos a cabeça de velocidade obtemos uma vazão um pouco maior — faz sentido porque estamos supondo que toda a carga disponível
é usada para vencer as perdas por atrito, em vez de parte dela ficar armazenada como cabeça cinética.
Passo 7
Cálculo do erro cometido ao desprezar o termo de energia cinética (item c).
Uma medida natural é o erro percentual relativo entre o resultado sem desprezar (item a) e o resultado com desprezar (item b). Vou calcular o erro relativo como:
Substituindo os valores:
Também o erro absoluto em vazão é:
Interpretação amigável: desprezar a cabeça de velocidade aqui levou a superestimar a vazão em cerca de
(ou quase
). Em provas, dependendo da tolerância exigida, desprezar esse termo pode ser aceitável; aqui a diferença é pequena, mas não nula — então é sempre bom checar.
Resposta
(a)
(b)
(c) (aumento de
)
(b)
(c)