01 - Um ventilador suga o ar à uma pressão atmosférica e à 20^{\circ} \mathrm{C} através de uma entrada de 2 m de diâmetro e expele o ar à pressão atmosférica através de uma saída de 0,5 \mathrm{~m} de diâmetro a uma velocidade de 50 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a força de propulsão gerada pelo fluido e a potência requerida para operar o ventilado.

Passo 1

Resumindo: temos um ventilador que suga ar à pressão ambiente e 20^\circ\mathrm{C} por uma entrada de diâmetro 2{,}0\\ \mathrm{m} e expele à mesma pressão por uma saída de diâmetro 0{,}5\\ \mathrm{m} com velocidade 50\\ \mathrm{m/s}. Vamos usar conservação de massa (continuidade) para achar a velocidade de sucção e a vazão mássica, depois aplicar o balanço de quantidade de movimento para obter a força de empuxo, e o balanço de energia para determinar a potência requerida.

Passo 2

Calcular as áreas das seções de entrada e saída e a velocidade na entrada:
A_1 = \frac{\pi (2{,}0)^2}{4} = \pi \\ \mathrm{m^2}, \quad A_2 = \frac{\pi (0{,}5)^2}{4} = 0{,}0625\pi\\ \mathrm{m^2}.
Pela continuidade \dot m = \rho A_1 V_1 = \rho A_2 V_2, logo
V_1 = \frac{A_2}{A_1}\,V_2 = \frac{0{,}0625\pi}{\pi}\times 50 =3{,}125\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Calcular a vazão mássica usando densidade do ar a 20^\circ\mathrm{C}, \rho =1{,}204\\ \mathrm{kg/m^3}:
\dot m = \rho\,A_2\,V_2 =1{,}204 \times (0{,}0625\pi)\times 50 \approx 11{,}81\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 4

Aplicar o balanço de quantidade de movimento (força de empuxo) sem variação de pressão:
F = \dot m\,(V_2 - V_1) =11{,}81\,(50 - 3{,}125) \approx 554\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Calcular a potência do ventilador via ganho de energia cinética:
\dot W = \dot m\,\frac{V_2^2 - V_1^2}{2} =11{,}81\,\frac{50^2 - 3{,}125^2}{2} \approx 14{,}7\\ \mathrm{kW}.

Resposta

Força de propulsão: 554\\ \mathrm{N}
Potência requerida: 14{,}7\\ \mathrm{kW}

Exercícios relacionados