(2.5) Usando Multiplicadores de Lagrange determine os valores de extremos de
na região descrita por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os valores extremos da função $ f(x, y) = e^{-xy} $ dentro da região definida pela desigualdade $ x^{2} + 4y^{2} \leq 1 $. Isso está relacionado ao conteúdo de Multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica usada para encontrar máximos e mínimos de funções sujeitas a restrições. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar os multiplicadores de Lagrange e também analisar os pontos críticos dentro e na borda da região dada.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se existem pontos críticos dentro da região $ x^{2} + 4y^{2} < 1 $. Para isso, calculamos as derivadas parciais da função $ f(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos essas derivadas a zero:
Como $ e^{-xy} $ nunca é zero, isso implica que:
Portanto, o único ponto crítico dentro da região é $ (0, 0) $.
Passo 3
Agora, precisamos analisar os extremos na borda da região, que é definida pela equação $ x^{2} + 4y^{2} = 1 $. Para isso, usamos os Multiplicadores de Lagrange. A ideia é que os gradientes da função $ f $ e da restrição $ g(x, y) = x^{2} + 4y^{2} - 1 $ são proporcionais no ponto extremo.
Matematicamente, isso fica assim:
Calculando os gradientes:
Então, temos:
Passo 4
Vamos dividir as duas equações para eliminar $ \lambda $:
Isso nos dá uma relação entre $ x $ e $ y $. Agora, usamos essa relação na equação da restrição $ x^{2} + 4y^{2} = 1 $:
Substituindo $ x $ de volta na relação $ 4y^{2} = x^{2} $:
Passo 5
Então, os pontos na borda onde podem ocorrer os extremos são:
Agora, vamos calcular o valor da função $ f(x, y) $ nesses pontos:
Como a função $ f(x, y) = e^{-xy} $ é simétrica em relação a $ x $ e $ y $, todos os quatro pontos terão o mesmo valor de $ f $, que é $ e^{-\frac{1}{4}} $.
Resposta
A função $ f(x, y) = e^{-xy} $ atinge seu valor máximo de $ 1 $ no ponto $ (0, 0) $ e seu valor mínimo de $ e^{-1/4} $ nos pontos da borda $ \left( \pm \frac{1}{\sqrt{2}}, \pm \frac{1}{2\sqrt{2}} \right) $. Portanto, os extremos são:
- Máximo: $ f(0, 0) = 1 $
- Mínimo: $ f\left( \pm \frac{1}{\sqrt{2}}, \pm \frac{1}{2\sqrt{2}} \right) = e^{-1/4} $