Calcule a integral tripla
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular uma integral tripla, que é tipo somar valores em três dimensões. A integral que temos é:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo multivariado, especificamente integração tripla. Para resolver isso, vamos precisar entender coordenadas cartesianas e possivelmente mudar para coordenadas cilíndricas para simplificar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os limites de integração. O intervalo de $ y $ vai de -1 a 1. Para cada valor de $ y $, $ x $ varia de $ -\sqrt{1 - y^{2}} $ a $ \sqrt{1 - y^{2}} $, o que descreve um círculo de raio 1 no plano $ xy $. Já para $ z $, ele varia de $ \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ a 2. Isso sugere que estamos integrando dentro de um cilindro com base no círculo de raio 1 e altura até $ z = 2 $.
Para facilitar, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde:
- $ x = r \cos\theta $
- $ y = r \sin\theta $
- $ z = z $
E o elemento de volume $ dV $ em coordenadas cilíndricas é $ r , dz , dr , d\theta $.
Passo 3
Vamos converter a integral para coordenadas cilíndricas. Primeiro, encontramos os novos limites:
- $ r $ varia de 0 a 1 (raio do círculo)
- $ \theta $ varia de 0 a $ 2\pi $ (permitindo cobrir todo o círculo)
- $ z $ varia de $ r $ a 2
A função que vamos integrar também muda. Originalmente, temos $ x \frac{z}{1 + z^{4}} $. Em coordenadas cilíndricas, $ x = r \cos\theta $, então a função fica:
Além disso, precisamos multiplicar pelo elemento de volume $ r $, então a integral fica:
Simplificando:
Passo 4
Vamos resolver agora cada uma das integrais separadamente.
Primeiro, a integral em $ \theta $:
Como essa parte é igual a zero, todo o produto das integrais será zero. Isso acontece porque a função $ \cos\theta $ é simétrica ao redor do círculo, e suas contribuições positivas e negativas se anulam.
Resposta
O valor da integral tripla é 0.