Questão 4. Considere a função
Se denotarmos por
a série de Fourier
-periódica que converge para
num intervalo aberto em torno da origem, temos que:
Passo 1
A função dada é um polinômio de grau 5 em x dividido por potências de π, e queremos o valor da série de Fourier 2π-periódica S_f(x) no ponto x=−π. O conteúdo principal é a convergência de séries de Fourier em pontos de possível descontinuidade do prolongamento periódico, e vamos usar o teorema que diz que, nesses pontos, a série converge ao ponto médio dos limites laterais.
Passo 2
Para funções piecewise-C^1 no intervalo [−π,π], o prolongamento 2π-periódico pode ser descontínuo em x=±π. O teorema de Dirichlet garante que a série de Fourier S_f(x) em x=−π vale
onde f(-π^+) é o limite à direita (no intervalo fundamental) e f(-π^-) é o limite à esquerda (vindos do outro período).
Passo 3
Vamos calcular f(π) e f(−π) diretamente da definição
Substituindo x=π: todos os termos ficam 1, logo f(π)=6. Substituindo x=−π: os termos ímpares mudam de sinal e os pares permanecem positivos, dando f(−π)=1−1+1−1+1−1=0.
Passo 4
No prolongamento 2π-periódico, o limite à esquerda de x=−π é f(−π^−)=f(π)=6 e o limite à direita é f(−π^+)=f(−π)=0. Assim
Passo 5
Portanto, o valor da série de Fourier S_f no ponto x=−π é 3.
Resposta
3