Questão 4. Considere a função
l f: R R, x mapsto f(x), onde f(x)=1+xpi+x^2pi^2+x^3pi^3+x^4pi^4+x^5pi^5
Se denotarmos por
Sf: R R, x mapsto Sf(x)
a série de Fourier 2 pi-periódica que converge para f(x) num intervalo aberto em torno da origem, temos que:
Sf(-pi)=1

Passo 1

A função dada é um polinômio de grau 5 em x dividido por potências de π, e queremos o valor da série de Fourier 2π-periódica S_f(x) no ponto x=−π. O conteúdo principal é a convergência de séries de Fourier em pontos de possível descontinuidade do prolongamento periódico, e vamos usar o teorema que diz que, nesses pontos, a série converge ao ponto médio dos limites laterais.

Passo 2

Para funções piecewise-C^1 no intervalo [−π,π], o prolongamento 2π-periódico pode ser descontínuo em x=±π. O teorema de Dirichlet garante que a série de Fourier S_f(x) em x=−π vale
Sf(-π)=f(-π^+)+f(-π^-)2,
onde f(-π^+) é o limite à direita (no intervalo fundamental) e f(-π^-) é o limite à esquerda (vindos do outro período).

Passo 3

Vamos calcular f(π) e f(−π) diretamente da definição
f(x)=1+xπ+x^2π^2+x^3π^3+x^4π^4+x^5π^5
Substituindo x=π: todos os termos ficam 1, logo f(π)=6. Substituindo x=−π: os termos ímpares mudam de sinal e os pares permanecem positivos, dando f(−π)=1−1+1−1+1−1=0.

Passo 4

No prolongamento 2π-periódico, o limite à esquerda de x=−π é f(−π^−)=f(π)=6 e o limite à direita é f(−π^+)=f(−π)=0. Assim
Sf(-π)=6+02=3

Passo 5

Portanto, o valor da série de Fourier S_f no ponto x=−π é 3.

Resposta

3

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