3.02 (1, Calcule as derivadas das seguintes funções fazendo uso das regras da potência, do produto, cadeia e do quociente. Avalie o ponto x=1
f(x)=(x^2+1)x e

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função $ f(x) = \frac{x^{2}+1}{x \cdot e} $ usando as regras da potência, do quociente e outras que a gente precisa. Vou te mostrar passo a passo como fazer isso e depois vamos avaliar a derivada no ponto $ x = 1 $.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que a regra do quociente vai usar. A função está na forma $ \frac{u(x)}{v(x)} $, onde:
  • $ u(x) = x^{2} + 1 $
  • $ v(x) = x \cdot e $

Passo 3

Agora, vamos derivar cada parte:
  • A derivada de $ u(x) $ em relação a $ x $ é: u(x)
  • A derivada de $ v(x) $ em relação a $ x $ é: x (porque $ e $ é uma constante e a derivada de $ x $ é 1)

Passo 4

Com as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $ em mãos, aplicamos a regra do quociente:
u(x)
Substituindo os valores que encontramos:
v(x)

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
  1. Multiplicando os termos no numerador: 2x cdot x cdot e = 2x^2 e (x^2 + 1) cdot e = x^2 e + e Então, o numerador fica: 2x^2 e - x^2 e - e = x^2 e - e
  2. O denominador é: (x cdot e)^2 = x^2 e^2 Assim, a expressão fica: f'(x) = x^2 e - ex^2 e^2
  3. Fatorando $ e $ no numerador: e

Passo 6

Agora vamos avaliar a derivada no ponto $ x = 1 $:
x = 1

Resposta

A derivada da função no ponto $ x = 1 $ é $ f’(1) = 0 $.

Exercícios relacionados