3.02 (1, Calcule as derivadas das seguintes funções fazendo uso das regras da potência, do produto, cadeia e do quociente. Avalie o ponto
Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada da função $ f(x) = \frac{x^{2}+1}{x \cdot e} $ usando as regras da potência, do quociente e outras que a gente precisa. Vou te mostrar passo a passo como fazer isso e depois vamos avaliar a derivada no ponto $ x = 1 $.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que a regra do quociente vai usar. A função está na forma $ \frac{u(x)}{v(x)} $, onde:
- $ u(x) = x^{2} + 1 $
- $ v(x) = x \cdot e $
Passo 3
Agora, vamos derivar cada parte:
- A derivada de $ u(x) $ em relação a $ x $ é:
- A derivada de $ v(x) $ em relação a $ x $ é:
(porque $ e $ é uma constante e a derivada de $ x $ é 1)
Passo 4
Com as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $ em mãos, aplicamos a regra do quociente:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão:
- Multiplicando os termos no numerador:
Então, o numerador fica: - O denominador é:
Assim, a expressão fica: - Fatorando $ e $ no numerador:
Passo 6
Agora vamos avaliar a derivada no ponto $ x = 1 $:
Resposta
A derivada da função no ponto $ x = 1 $ é $ f’(1) = 0 $.