3.02 (1, Calcule as derivadas das seguintes funções fazendo uso das regras da potência, do produto, cadeia e do quociente. Avalie o ponto x=1
v) f(x)=(1+raiz[4]x^2+1)(2 x^3+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função f(x) = (1 + raiz[4]x^2+1)(2x^3+1) usando as regras da potência, do produto, da cadeia e do quociente. Depois, vamos avaliar essa derivada no ponto x = 1 . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas e como aplicar essas regras na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a x . No nosso caso, temos uma função que é o produto de duas funções: u(x) = 1 + raiz[4]x^2+1 e v(x) = 2x^3 + 1 . Para derivar o produto de duas funções, usamos a regra do produto, que diz:
(fg)' = f'g + fg'
Então, vamos precisar derivar u(x) e v(x) separadamente.

Passo 3

Vamos começar derivando u(x) = 1 + raiz[4]x^2+1 . A constante 1 tem derivada zero, então nos concentramos na segunda parte. A raiz de quarto pode ser escrita como uma potência:
raiz[4]x^2+1 = (x^2+1)^14
Para derivar (x^2+1)^14 , usamos a regra da cadeia, que é aplicada quando temos uma função composta. A regra diz que a derivada de h(g(x)) é h'(g(x)) cdot g'(x) . Aqui, h(u) = u^14 e g(x) = x^2 + 1 .
Derivando h(u) :
h'(u) = 14u^-34
E derivando g(x) :
g'(x) = 2x
Então, a derivada de u(x) é:
u'(x) = 14(x^2+1)^-34 cdot 2x = 2x4(x^2+1)^-34 = x2(x^2+1)^-34

Passo 4

Agora, vamos derivar v(x) = 2x^3 + 1 . A derivada de 2x^3 é 6x^2 e a derivada de 1 é zero. Então:
v'(x) = 6x^2

Passo 5

Com as derivadas de u(x) e v(x) em mãos, aplicamos a regra do produto:
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
Substituindo os valores:
f'(x) = ( x2(x^2+1)^-34 )(2x^3+1) + (1 + (x^2+1)^14 )(6x^2)

Passo 6

Agora, simplificamos essa expressão:
Primeiro termo:
x2(x^2+1)^-34(2x^3+1)
Segundo termo:
6x^2 (1 + (x^2+1)^14 )
Então, a derivada completa fica:
f'(x) = x(2x^3+1)2(x^2+1)^34 + 6x^2(1 + (x^2+1)^14)

Passo 7

Por fim, vamos avaliar f'(x) no ponto x = 1 :
Primeiro, calculamos cada parte:
x = 1
x^2 + 1 = 1 + 1 = 2
2x^3 + 1 = 2(1)^3 + 1 = 3
(x^2+1)^14 = 2^14 approx 1.1892
(x^2+1)^-34 = 2^-34 approx 0.5946
Agora substituímos na derivada:
f'(1) = 1 cdot 32 cdot 0.5946 + 6(1)^2(1 + 1.1892)
f'(1) approx 31.1892 + 6 cdot 2.1892
f'(1) approx 2.523 + 13.135
f'(1) approx 15.658

Resposta

A derivada de f(x) no ponto x = 1 é aproximadamente f'(1) approx 15.658 .

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