3.02 (1, Calcule as derivadas das seguintes funções fazendo uso das regras da potência, do produto, cadeia e do quociente. Avalie o ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função
usando as regras da potência, do produto, da cadeia e do quociente. Depois, vamos avaliar essa derivada no ponto
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas e como aplicar essas regras na prática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a
. No nosso caso, temos uma função que é o produto de duas funções:
e
. Para derivar o produto de duas funções, usamos a regra do produto, que diz:
Então, vamos precisar derivar
e
separadamente.
Passo 3
Vamos começar derivando
. A constante 1 tem derivada zero, então nos concentramos na segunda parte. A raiz de quarto pode ser escrita como uma potência:
Para derivar
, usamos a regra da cadeia, que é aplicada quando temos uma função composta. A regra diz que a derivada de
é
. Aqui,
e
.
Derivando
:
E derivando
:
Então, a derivada de
é:
Passo 4
Agora, vamos derivar
. A derivada de
é
e a derivada de 1 é zero. Então:
Passo 5
Com as derivadas de
e
em mãos, aplicamos a regra do produto:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, simplificamos essa expressão:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Então, a derivada completa fica:
Passo 7
Por fim, vamos avaliar
no ponto
:
Primeiro, calculamos cada parte:
Agora substituímos na derivada:
Resposta
A derivada de
no ponto
é aproximadamente
.