3.02 (1, Calcule as derivadas das seguintes funções fazendo uso das regras da potência, do produto, cadeia e do quociente. Avalie o ponto x=1
f(x)=x^3x^2+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função f(x) = x^3x^2+1 usando as regras de derivação que a gente aprendeu: regra da potência, do produto, da cadeia e do quociente. Depois, vamos avaliar essa derivada no ponto x = 1 .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Regra do Quociente, que é usada quando temos uma função dividida por outra. Se f(x) = u(x)v(x) , então a derivada f'(x) é:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) - u(x) cdot v'(x)[v(x)]^2
Nesse nosso caso, u(x) = x^3 e v(x) = x^2 + 1 .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de u(x) e v(x) usando a Regra da Potência, que diz que a derivada de x^n é n cdot x^n-1 .
u'(x) = ddxx^3 = 3x^2
v'(x) = ddx(x^2 + 1) = 2x

Passo 4

Agora, vamos aplicar a Regra do Quociente com os valores que encontramos:
f'(x) = 3x^2 cdot (x^2 + 1) - x^3 cdot 2x(x^2 + 1)^2
Vamos simplificar o numerador:
3x^2(x^2 + 1) = 3x^4 + 3x^2
x^3 cdot 2x = 2x^4
3x^4 + 3x^2 - 2x^4 = x^4 + 3x^2
Então, a derivada fica:
f'(x) = x^4 + 3x^2(x^2 + 1)^2

Passo 5

Agora, vamos avaliar f'(x) no ponto x = 1 :
f'(1) = (1)^4 + 3(1)^2(1^2 + 1)^2 = 1 + 3(1 + 1)^2 = 44 = 1

Resposta

A derivada de f(x) = x^3x^2+1 é f'(x) = x^4 + 3x^2(x^2 + 1)^2 e, no ponto x = 1 , f'(1) = 1 .

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