3.02 (1, Calcule as derivadas das seguintes funções fazendo uso das regras da potência, do produto, cadeia e do quociente. Avalie o ponto x=1
f(x)=(2 x^2-1)^5x^2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função f(x) = (2x^2 - 1)^5x^2 e avaliar essa derivada no ponto x = 1 . Para isso, vamos usar as regras de derivação: a regra da potência, do produto, da cadeia e do quociente. Precisaremos entender cada uma dessas regras para aplicar corretamente na função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Regra da Potência, que nos diz que se temos uma função g(x) = x^n , então a derivada g'(x) = n cdot x^n-1 .

Passo 3

Em seguida, a Regra do Quociente é usada quando temos uma função que é o quociente de duas funções, ou seja, u(x)v(x) . A derivada dessa função é dada por:
( uv )' = u'v - uv'v^2
Isso significa que vamos precisar derivar o numerador u(x) e o denominador v(x) separadamente.

Passo 4

Identificando na nossa função f(x) = (2x^2 - 1)^5x^2 , temos:
u(x) = (2x^2 - 1)^5 e v(x) = x^2
Agora, vamos derivar cada uma dessas partes.

Passo 5

Para derivar u(x) = (2x^2 - 1)^5 , usamos a Regra da Cadeia. Primeiro, identificamos a função externa h(z) = z^5 e a função interna z(x) = 2x^2 - 1 . A derivada de h(z) em relação a z é h'(z) = 5z^4 , e a derivada de z(x) em relação a x é z'(x) = 4x .
Aplicando a Regra da Cadeia:
u'(x) = h'(z) cdot z'(x) = 5(2x^2 - 1)^4 cdot 4x = 20x(2x^2 - 1)^4

Passo 6

Agora, derivamos v(x) = x^2 usando a Regra da Potência:
v'(x) = 2x

Passo 7

Aplicando a Regra do Quociente para encontrar f'(x) :
f'(x) = u'(x)v(x) - u(x)v'(x)v(x)^2 = 20x(2x^2 - 1)^4 cdot x^2 - (2x^2 - 1)^5 cdot 2xx^4

Passo 8

Vamos simplificar a expressão:
f'(x) = 20x^3(2x^2 - 1)^4 - 2x(2x^2 - 1)^5x^4 = 2x(2x^2 - 1)^4(10x^2 - (2x^2 - 1))x^4
Simplificando dentro dos parênteses:
10x^2 - 2x^2 + 1 = 8x^2 + 1
Então:
f'(x) = 2x(2x^2 - 1)^4(8x^2 + 1)x^4 = 2(2x^2 - 1)^4(8x^2 + 1)x^3

Passo 9

Agora, vamos avaliar f'(x) no ponto x = 1 :
f'(1) = 2(2(1)^2 - 1)^4(8(1)^2 + 1)(1)^3 = 2(2 - 1)^4(8 + 1)1 = 2(1)^4(9) = 2 times 1 times 9 = 18

Resposta

A derivada da função no ponto x = 1 é igual a 18.

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