3.02 (1, Calcule as derivadas das seguintes funções fazendo uso das regras da potência, do produto, cadeia e do quociente. Avalie o ponto
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função
e avaliar essa derivada no ponto
. Para isso, vamos usar as regras de derivação: a regra da potência, do produto, da cadeia e do quociente. Precisaremos entender cada uma dessas regras para aplicar corretamente na função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Regra da Potência, que nos diz que se temos uma função
, então a derivada
.
Passo 3
Em seguida, a Regra do Quociente é usada quando temos uma função que é o quociente de duas funções, ou seja,
. A derivada dessa função é dada por:
Isso significa que vamos precisar derivar o numerador
e o denominador
separadamente.
Passo 4
Identificando na nossa função
, temos:
Agora, vamos derivar cada uma dessas partes.
Passo 5
Para derivar
, usamos a Regra da Cadeia. Primeiro, identificamos a função externa
e a função interna
. A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é
.
Aplicando a Regra da Cadeia:
Passo 6
Agora, derivamos
usando a Regra da Potência:
Passo 7
Aplicando a Regra do Quociente para encontrar
:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão:
Simplificando dentro dos parênteses:
Então:
Passo 9
Agora, vamos avaliar
no ponto
:
Resposta
A derivada da função no ponto
é igual a 18.