Q. 02 Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{7 x^{6}+5 x^{4}+7}}{x^{4}+2},

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações ele dá.
  • O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{7x^{6}+5x^{4}+7}}{x^{4}+2}.
  • Informações dadas:
    • O numerador é \sqrt{7x^{6}+5x^{4}+7}.
    • O denominador é x^{4}+2.
    • A variável x tende para -\infty (valores negativos com módulo muito grande).

Passo 2

Ideia útil (fórmula e observação que vou usar): quando aparece uma raiz quadrada de um polinômio, a técnica prática é fatorar a maior potência de x que aparece dentro da raiz para tornar explícito o comportamento quando |x| cresce. Lembre também da propriedade básica da raiz quadrada:
\sqrt{x^{2}} = |x|.
Isto é importante porque \sqrt{x^{6}}=(\sqrt{x^{2}})^{3}=|x|^{3}, não simplesmente x^{3} (pois x^{3} pode ser negativo enquanto a raiz é sempre não negativa).

Passo 3

Fatorar a maior potência de x dentro da raiz e também no denominador. A maior potência dentro da raiz é x^{6}. Faço a fatoração:
\sqrt{7x^{6}+5x^{4}+7} = \sqrt{x^{6}}\;\sqrt{7+\frac{5x^{4}}{x^{6}}+\frac{7}{x^{6}}} = |x|^{3}\sqrt{7+\frac{5}{x^{2}}+\frac{7}{x^{6}}}.
O denominador fatorado é
x^{4}+2 = x^{4}\left(1+\frac{2}{x^{4}}\right).
Portanto a expressão do limite fica
\frac{\sqrt{7x^{6}+5x^{4}+7}}{x^{4}+2} = \frac{|x|^{3}\sqrt{7+\dfrac{5}{x^{2}}+\dfrac{7}{x^{6}}}}{x^{4}\left(1+\dfrac{2}{x^{4}}\right)}.

Passo 4

Simplificar a fração \dfrac{|x|^{3}}{x^{4}}. Note que x^{4}=(|x|)^{4}, logo
\frac{|x|^{3}}{x^{4}} = \frac{|x|^{3}}{|x|^{4}} = \frac{1}{|x|}.
Substituindo na expressão do limite:
\frac{\sqrt{7x^{6}+5x^{4}+7}}{x^{4}+2} = \frac{1}{|x|}\cdot\frac{\sqrt{7+\dfrac{5}{x^{2}}+\dfrac{7}{x^{6}}}}{1+\dfrac{2}{x^{4}}}.

Passo 5

Agora analiso o comportamento de cada fator quando x\to -\infty.
  • Como x\to -\infty, tem-se |x|\to +\infty, então
\frac{1}{|x|}\to 0.
  • Os termos dentro das frações com potências negativas tendem a zero:
\frac{5}{x^{2}}\to 0,\qquad \frac{7}{x^{6}}\to 0,\qquad \frac{2}{x^{4}}\to 0.
  • Portanto
\sqrt{7+\frac{5}{x^{2}}+\frac{7}{x^{6}}}\to \sqrt{7} \qquad\text{e}\qquad 1+\frac{2}{x^{4}}\to 1.
Multiplicando os limites (regra do produto / quociente de limites), o produto total tende a
\left(\frac{1}{|x|}\right)\cdot\frac{\sqrt{7+\dfrac{5}{x^{2}}+\dfrac{7}{x^{6}}}}{1+\dfrac{2}{x^{4}}} \longrightarrow 0\cdot\frac{\sqrt{7}}{1}=0.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida: embora a raiz no numerador cresça como |x|^{3} (vezes uma constante \sqrt{7} quando |x| é grande), o denominador cresce como x^{4}, isto é, como |x|^{4}. Assim o comportamento dominante é \dfrac{|x|^{3}}{|x|^{4}}=\dfrac{1}{|x|} que vai a zero. Não há problema de sinal porque tanto numerador (raiz) quanto denominador são positivos para |x| grande, então o limite existe e é 0.

Resposta

0

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