Q. 02 Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
,
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações ele dá.
- O enunciado pede calcular o limite
- Informações dadas:
- O numerador é
. - O denominador é
. - A variável
tende para (valores negativos com módulo muito grande).
- O numerador é
Passo 2
Ideia útil (fórmula e observação que vou usar): quando aparece uma raiz quadrada de um polinômio, a técnica prática é fatorar a maior potência de
que aparece dentro da raiz para tornar explícito o comportamento quando
cresce. Lembre também da propriedade básica da raiz quadrada:
Isto é importante porque
, não simplesmente
(pois
pode ser negativo enquanto a raiz é sempre não negativa).
Passo 3
Fatorar a maior potência de
dentro da raiz e também no denominador. A maior potência dentro da raiz é
. Faço a fatoração:
O denominador fatorado é
Portanto a expressão do limite fica
Passo 4
Simplificar a fração
. Note que
, logo
Substituindo na expressão do limite:
Passo 5
Agora analiso o comportamento de cada fator quando
.
- Como
, tem-se , então
- Os termos dentro das frações com potências negativas tendem a zero:
- Portanto
Multiplicando os limites (regra do produto / quociente de limites), o produto total tende a
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida: embora a raiz no numerador cresça como
(vezes uma constante
quando
é grande), o denominador cresce como
, isto é, como
. Assim o comportamento dominante é
que vai a zero. Não há problema de sinal porque tanto numerador (raiz) quanto denominador são positivos para
grande, então o limite existe e é
.
Resposta
0