Q. 02 Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x}{\sqrt{x+1}}\,),

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o seguinte limite (quando existe)
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x}{\sqrt{x+1}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A variável x tende para +\infty.
  • A expressão a analisar é \dfrac{x}{\sqrt{x+1}}.
  • A função está bem definida para x\ge -1, então não há problema ao considerar x\to\infty.

Passo 2

Ideia básica (ferramenta prática): identificar a parte dominante em x e fatorá-la para ver o comportamento para grandes x. Aqui a raiz \sqrt{x+1} tem comportamento parecido com \sqrt{x} quando x é grande. Vamos escrever isso de forma algébrica.
Primeiro, fatoramos \sqrt{x} dentro da raiz:
\sqrt{x+1}=\sqrt{x}\,\sqrt{1+\frac{1}{x}}.
Substituindo na expressão original obtemos
\frac{x}{\sqrt{x+1}}=\frac{x}{\sqrt{x}\,\sqrt{1+\frac{1}{x}}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}}.
Expliquei cada passo: usei \sqrt{x+1}=\sqrt{x}\sqrt{1+1/x} porque \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}, e simplifiquei x/\sqrt{x}= \sqrt{x}.

Passo 3

Analisar o que acontece com cada fator quando x\to\infty.
  • O termo \sqrt{x} tende para +\infty quando x\to\infty, pois a raiz quadrada de um número que cresce sem limite também cresce sem limite.
  • O termo 1+\dfrac{1}{x} tende para 1 quando x\to\infty, já que \dfrac{1}{x}\to 0.
  • Como a função \sqrt{\cdot} é contínua em torno de 1, segue que
\sqrt{1+\frac{1}{x}}\longrightarrow \sqrt{1}=1\quad\text{quando }x\to\infty.

Passo 4

Combinar as observações anteriores: a expressão ficou
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}}.
Temos no numerador algo que vai para +\infty e no denominador algo que vai para 1 (não zero). Intuitivamente, isso indica que a fração vai para +\infty. Para dar uma justificativa mais rígida, use uma desigualdade simples válida para x\ge 1:
Se x\ge 1 então 1+\dfrac{1}{x}\le 2, logo
\sqrt{1+\frac{1}{x}}\le \sqrt{2}.
Portanto, para x\ge 1,
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}}\ge \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}}.
Como \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}}\to +\infty quando x\to\infty, por comparação a expressão original também tende para +\infty. Isso é uma prova do crescimento sem limite (divergência para +\infty).

Passo 5

Interpretação final: a expressão cresce sem limite quando x cresce — o limite não é um número finito, e sim +\infty. Dica prática para provas: ao ver quocientes envolvendo potências de x e raízes, factorar o maior termo (aqui \sqrt{x}) costuma resolver rápido.

Resposta

+\infty

Exercícios relacionados