Q. 02 Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o seguinte limite (quando existe)
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A variável
tende para . - A expressão a analisar é
. - A função está bem definida para
, então não há problema ao considerar .
Passo 2
Ideia básica (ferramenta prática): identificar a parte dominante em
e fatorá-la para ver o comportamento para grandes
. Aqui a raiz
tem comportamento parecido com
quando
é grande. Vamos escrever isso de forma algébrica.
Primeiro, fatoramos
dentro da raiz:
Substituindo na expressão original obtemos
Expliquei cada passo: usei
porque
, e simplifiquei
.
Passo 3
Analisar o que acontece com cada fator quando
.
- O termo
tende para quando , pois a raiz quadrada de um número que cresce sem limite também cresce sem limite. - O termo
tende para quando , já que . - Como a função
é contínua em torno de , segue que
Passo 4
Combinar as observações anteriores: a expressão ficou
Temos no numerador algo que vai para
e no denominador algo que vai para
(não zero). Intuitivamente, isso indica que a fração vai para
. Para dar uma justificativa mais rígida, use uma desigualdade simples válida para
:
Se
então
, logo
Portanto, para
,
Como
quando
, por comparação a expressão original também tende para
. Isso é uma prova do crescimento sem limite (divergência para
).
Passo 5
Interpretação final: a expressão cresce sem limite quando
cresce — o limite não é um número finito, e sim
. Dica prática para provas: ao ver quocientes envolvendo potências de
e raízes, factorar o maior termo (aqui
) costuma resolver rápido.