Q. 02 Calcule o limite ou explique porque ele não existe. \lim _{x \rightarrow \infty}\left(3 x^{5}-4 x^{3}+1\right), \quad
Passo 1
O enunciado pede: calcular \lim_{x\to\infty}\left(3x^{5}-4x^{3}+1\right).
Informações dadas:
A função cujo limite queremos é f(x)=3x^{5}-4x^{3}+1.
Os coeficientes são 3 (do termo de grau 5), -4 (do termo de grau 3) e 1 (termo constante).
Queremos o comportamento quando x cresce sem limite positivo (x\to\infty).
Passo 2
Idéia principal (explicação didática): em polinômios, quando x\to\infty os termos de maior grau dominam o crescimento. Ou seja, o termo com maior potência de x determina o crescimento da expressão, porque potências maiores crescem muito mais rápido que potências menores ou constantes. Vamos usar essa ideia de forma explícita e rigorosa.
Passo 3
Fatorar a maior potência comum para deixar claro o comportamento dominante. Fatorando x^{5} da expressão:
Interpretação simples: os termos com 1/x^{2} e 1/x^{5} desaparecem quando x fica muito grande.
Passo 5
Combine as duas observações: temos x^{5} multiplicando algo que tende para 3>0. Assim, para x suficientemente grande o fator entre parênteses fica positivo e próximo de 3. Mais rigorosamente, escolha N tal que, para x>N, \left|3-\dfrac{4}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{5}}-3\right|<1. Isso garante que, para x>N,