Q. 02 Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(3 x^{5}-4 x^{3}+1\right), \quad

Passo 1

O enunciado pede: calcular \lim_{x\to\infty}\left(3x^{5}-4x^{3}+1\right).
Informações dadas:
  • A função cujo limite queremos é f(x)=3x^{5}-4x^{3}+1.
  • Os coeficientes são 3 (do termo de grau 5), -4 (do termo de grau 3) e 1 (termo constante).
  • Queremos o comportamento quando x cresce sem limite positivo ( x\to\infty).

Passo 2

Idéia principal (explicação didática): em polinômios, quando x\to\infty os termos de maior grau dominam o crescimento. Ou seja, o termo com maior potência de x determina o crescimento da expressão, porque potências maiores crescem muito mais rápido que potências menores ou constantes. Vamos usar essa ideia de forma explícita e rigorosa.

Passo 3

Fatorar a maior potência comum para deixar claro o comportamento dominante. Fatorando x^{5} da expressão:
3x^{5}-4x^{3}+1 = x^{5}\!\left(3-\frac{4}{x^{2}}+\frac{1}{x^{5}}\right).
Explicando o passo: cada termo foi dividido por x^{5}: 3x^{5}/x^{5}=3, -4x^{3}/x^{5}=-4/x^{2}, 1/x^{5} permanece.

Passo 4

Analisar o limite do parêntese quando x\to\infty. Para todo k>0 vale \lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x^{k}}=0. Portanto
\lim_{x\to\infty}\left(3-\frac{4}{x^{2}}+\frac{1}{x^{5}}\right)=3-0+0=3.
Interpretação simples: os termos com 1/x^{2} e 1/x^{5} desaparecem quando x fica muito grande.

Passo 5

Combine as duas observações: temos x^{5} multiplicando algo que tende para 3>0. Assim, para x suficientemente grande o fator entre parênteses fica positivo e próximo de 3. Mais rigorosamente, escolha N tal que, para x>N, \left|3-\dfrac{4}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{5}}-3\right|<1. Isso garante que, para x>N,
\left(3-\frac{4}{x^{2}}+\frac{1}{x^{5}}\right)>2.
Logo, para x>N,
3x^{5}-4x^{3}+1 = x^{5}\!\left(3-\frac{4}{x^{2}}+\frac{1}{x^{5}}\right) > 2x^{5}.
Como \lim_{x\to\infty}2x^{5}=\infty, pela desigualdade acima a própria expressão 3x^{5}-4x^{3}+1 também tende a +\infty.

Passo 6

Conclusão final: a expressão cresce sem limite positivo quando x\to\infty; portanto o limite é +\infty.

Resposta

\infty

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