) Calcule as integrais:
Passo 1
Vamos resolver a integral
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo frações racionais. Para resolver, vamos utilizar o método de frações parciais, que nos ajuda a simplificar integrais de funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Sabemos que
, então:
Passo 3
Agora, expressamos a fração
como uma soma de frações parciais. Assumimos a forma:
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Para encontrar os valores de
,
,
e
, escolhemos valores específicos para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Escolhemos outro valor para
, por exemplo,
:
Sabemos que
e
, então:
Passo 7
Escolhemos mais um valor para
, por exemplo,
:
Substituindo
e
:
Passo 8
Resolvemos o sistema de equações formado nos passos (1) e (2):
Multiplicamos a primeira equação por 3:
Agora, somamos com a segunda equação:
Substituindo
na equação (1):
Então,
.
Passo 9
Agora que temos todos os coeficientes:
A fração parcial fica:
Passo 10
Agora, integramos cada termo separadamente:
Integrando termo a termo:
Calculando as integrais: