02^circ ) Calcule as integrais:
integral 1(x^2-1)^2

Passo 1

Vamos resolver a integral integral 1(x^2-1)^2 dx. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo frações racionais. Para resolver, vamos utilizar o método de frações parciais, que nos ajuda a simplificar integrais de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador (x^2-1)^2. Sabemos que x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1), então:
(x^2 - 1)^2 = [(x - 1)(x + 1)]^2 = (x - 1)^2(x + 1)^2

Passo 3

Agora, expressamos a fração 1(x - 1)^2(x + 1)^2 como uma soma de frações parciais. Assumimos a forma:
1(x - 1)^2(x + 1)^2 = Ax - 1 + B(x - 1)^2 + Cx + 1 + D(x + 1)^2

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por (x - 1)^2(x + 1)^2 para eliminar os denominadores:
1 = A(x - 1)(x + 1)^2 + B(x + 1)^2 + C(x + 1)(x - 1)^2 + D(x - 1)^2

Passo 5

Para encontrar os valores de A, B, C e D, escolhemos valores específicos para x:
  • Para x = 1:
1 = B(1 + 1)^2 Rightarrow 1 = B(4) Rightarrow B = 14
  • Para x = -1:
1 = D(-1 - 1)^2 Rightarrow 1 = D(4) Rightarrow D = 14

Passo 6

Escolhemos outro valor para x, por exemplo, x = 0:
1 = A(-1)(1)^2 + B(1)^2 + C(1)(-1)^2 + D(-1)^2
1 = -A + B + C + D
Sabemos que B = 14 e D = 14, então:
1 = -A + 14 + C + 14 Rightarrow 1 = -A + C + 12
-A + C = 12 (1)

Passo 7

Escolhemos mais um valor para x, por exemplo, x = 2:
1 = A(2 - 1)(2 + 1)^2 + B(2 + 1)^2 + C(2 + 1)(2 - 1)^2 + D(2 - 1)^2
1 = A(1)(9) + B(9) + C(3)(1) + D(1)
1 = 9A + 9B + 3C + D
Substituindo B = 14 e D = 14:
1 = 9A + 9(14) + 3C + 14
1 = 9A + 94 + 3C + 14
1 = 9A + 3C + 104 Rightarrow 1 = 9A + 3C + 52
9A + 3C = 1 - 52 = -32 (2)

Passo 8

Resolvemos o sistema de equações formado nos passos (1) e (2):
-A + C = 12 9A + 3C = -32
Multiplicamos a primeira equação por 3:
-3A + 3C = 32
Agora, somamos com a segunda equação:
-3A + 3C + 9A + 3C = 32 - 32
6A + 6C = 0 Rightarrow A + C = 0 Rightarrow C = -A
Substituindo C = -A na equação (1):
-A + (-A) = 12 Rightarrow -2A = 12 Rightarrow A = -14
Então, C = -A = 14.

Passo 9

Agora que temos todos os coeficientes:
A = -14, B = 14, C = 14, D = 14
A fração parcial fica:
1(x - 1)^2(x + 1)^2 = -14x - 1 + 14(x - 1)^2 + 14x + 1 + 14(x + 1)^2

Passo 10

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 1(x^2 - 1)^2 dx = integral ( -14x - 1 + 14(x - 1)^2 + 14x + 1 + 14(x + 1)^2 ) dx
Integrando termo a termo:
-14 integral 1x - 1 dx + 14 integral 1(x - 1)^2 dx + 14 integral 1x + 1 dx + 14 integral 1(x + 1)^2 dx
Calculando as integrais:
-14 ln|x - 1| - 14(x - 1) + 14 ln|x + 1| - 14(x + 1) + C

Resposta

integral 1(x^2-1)^2 dx = -14 ln|x - 1| - 14(x - 1) + 14 ln|x + 1| - 14(x + 1) + C

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