Encontre a série de Maclaurin da função
Passo 1
Vamos encontrar a expansão de Maclaurin de f(x)=x cos(x²). O conteúdo envolve séries de Taylor para funções elementares, e vamos precisar da série de Maclaurin de cos(t).
Passo 2
A série de Maclaurin de cos(t) é dada por:
[
\cos(t)=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{t^{2n}}{(2n)!}.
\cos(t)=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{t^{2n}}{(2n)!}.
Passo 3
Substituindo t=x² nessa série, obtemos:
[
\cos(x2)=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{(x2){2n}}{(2n)!}=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{x{4n}}{(2n)!}.
\cos(x2)=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{(x2){2n}}{(2n)!}=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{x{4n}}{(2n)!}.
Passo 4
Agora é só multiplicar por x para achar f(x):
[
f(x)=x\cos(x2)=x\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{x{4n}}{(2n)!}=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{x^{4n+1}}{(2n)!}.
Como resultado, os primeiros termos são
[
f(x)=x-\frac{x5}{2!}+\frac{x9}{4!}-\frac{x^{13}}{6!}+\cdots.
f(x)=x\cos(x2)=x\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{x{4n}}{(2n)!}=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{x^{4n+1}}{(2n)!}.
Como resultado, os primeiros termos são
[
f(x)=x-\frac{x5}{2!}+\frac{x9}{4!}-\frac{x^{13}}{6!}+\cdots.