4² Questão:
. Diga, justificando, se a seguinte função
tem limite no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função:
Ela está definida em todo o plano menos no ponto
. A pergunta é: existe limite dessa função quando
se aproxima de
? Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em várias variáveis e ver se o limite é o mesmo independente do caminho que a gente escolhe para chegar em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para determinar se o limite existe, precisamos verificar se todos os caminhos que levam a
resultam no mesmo valor para
. Se encontrarmos dois caminhos diferentes que dão limites diferentes, então o limite geral não existe.
Passo 3
Vamos começar avaliando a função ao longo do eixo
, ou seja, quando
. Substituindo
na função:
Então, ao longo do eixo
, o limite é 0.
Passo 4
Agora, vamos avaliar ao longo do eixo
, onde
. Substituindo
na função:
Então, ao longo do eixo
, o limite também é 0.
Passo 5
Até agora, parece que o limite é 0, mas precisamos verificar outros caminhos para ter certeza. Vamos tentar o caminho onde
, onde
é uma constante. Substituindo
na função:
Aqui, vemos que o limite depende do valor de
. Por exemplo, se
, o limite é
, e se
, o limite é 0. Como obtenho resultados diferentes para valores diferentes de
, isso significa que o limite não é o mesmo em todos os caminhos.
Passo 6
Além disso, podemos usar coordenadas polares para confirmar. Seja
e
. Substituindo na função:
Aqui, percebemos que o resultado ainda depende de
, o que confirma que o limite varia dependendo da direção que a gente aproxima
.
Resposta
Portanto, a função
não possui limite no ponto
, pois o valor do limite depende do caminho seguido para se aproximar do ponto, resultando em diferentes valores.