4² Questão: (1,0). Diga, justificando, se a seguinte função
f(x, y)=x yx^2+2 y^2, definida em D=R^2 backslash0,0)
tem limite no ponto (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função:
f(x, y) = x yx^2 + 2 y^2
Ela está definida em todo o plano menos no ponto (0,0). A pergunta é: existe limite dessa função quando (x, y) se aproxima de (0,0)? Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em várias variáveis e ver se o limite é o mesmo independente do caminho que a gente escolhe para chegar em (0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para determinar se o limite existe, precisamos verificar se todos os caminhos que levam a (0,0) resultam no mesmo valor para f(x, y). Se encontrarmos dois caminhos diferentes que dão limites diferentes, então o limite geral não existe.

Passo 3

Vamos começar avaliando a função ao longo do eixo x, ou seja, quando y = 0. Substituindo y = 0 na função:
f(x, 0) = x cdot 0x^2 + 2 cdot 0^2 = 0
Então, ao longo do eixo x, o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos avaliar ao longo do eixo y, onde x = 0. Substituindo x = 0 na função:
f(0, y) = 0 cdot y0^2 + 2 y^2 = 0
Então, ao longo do eixo y, o limite também é 0.

Passo 5

Até agora, parece que o limite é 0, mas precisamos verificar outros caminhos para ter certeza. Vamos tentar o caminho onde y = kx, onde k é uma constante. Substituindo y = kx na função:
f(x, kx) = x cdot kxx^2 + 2 (kx)^2 = k x^2x^2 + 2 k^2 x^2 = k1 + 2 k^2
Aqui, vemos que o limite depende do valor de k. Por exemplo, se k = 1, o limite é 13, e se k = 0, o limite é 0. Como obtenho resultados diferentes para valores diferentes de k, isso significa que o limite não é o mesmo em todos os caminhos.

Passo 6

Além disso, podemos usar coordenadas polares para confirmar. Seja x = r cos theta e y = r sin theta. Substituindo na função:
f(rcostheta, rsintheta) = rcostheta cdot rsintheta(rcostheta)^2 + 2 (rsintheta)^2 = r^2 costheta sinthetar^2 (cos^2theta + 2 sin^2theta) = costheta sinthetacos^2theta + 2 sin^2theta
Aqui, percebemos que o resultado ainda depende de theta, o que confirma que o limite varia dependendo da direção que a gente aproxima (0,0).

Resposta

Portanto, a função f(x, y) = x yx^2 + 2 y^2 não possui limite no ponto (0,0), pois o valor do limite depende do caminho seguido para se aproximar do ponto, resultando em diferentes valores.

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