Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
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Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, $ g(p, q) = p^{4} - p^{2} q^{3} $, e queremos determinar a derivada direcional dessa função no ponto $ P = (2, 1) $ na direção do vetor $ \vec{v} = 5 \mathbf{i} + 10 \mathbf{j} $. Isso está relacionado ao tópico de Cálculo Diferencial, especificamente derivadas direcionais em funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar calcular o gradiente da função e o vetor unitário na direção de $ \vec{v} $.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função $ g(p, q) $. O gradiente, denotado por $ \nabla g $, é um vetor que contém as derivadas parciais de $ g $ em relação a cada variável. Então, temos:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de $ g $ em relação a $ p $:
Passo 4
Calculando a derivada parcial de $ g $ em relação a $ q $:
Passo 5
Então, o gradiente da função é:
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto $ P = (2, 1) $.
Passo 6
Substituindo $ p = 2 $ e $ q = 1 $ na expressão do gradiente:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar o vetor unitário na direção de $ \vec{v} = 5 \mathbf{i} + 10 \mathbf{j} $. Primeiro, calculamos o comprimento (magnitude) de $ \vec{v} $:
Passo 8
O vetor unitário na direção de $ \vec{v} $ é:
Passo 9
A derivada direcional de $ g $ na direção de $ \vec{v} $ no ponto $ P $ é o produto escalar do gradiente de $ g $ em $ P $ com o vetor unitário $ \mathbf{u} $:
Resposta
A derivada direcional de $ g $ no ponto $ (2, 1) $ na direção de $ \vec{v} $ é $ \frac{4}{\sqrt{5}} $.