02 Encontre de

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=sinl(x^2r),ln(x),x^3
O conteúdo necessário é a regra do produto para três funções, a regra da cadeia (para sin(x^2)) e a derivada de ln(x).

Passo 2

Identificamos as três funções envolvidas no produto:
u(x)=sinl(x^2r),
v(x)=ln(x) e
w(x)=x^3.
Suas derivadas são:
u'(x)=cosl(x^2r)cdot2x = 2xcosl(x^2r),
v'(x)=1x,
w'(x)=3x^2

Passo 3

Aplicamos a regra do produto para três fatores:
f'(x)=u'(x),v(x),w(x) + u(x),v'(x),w(x) + u(x),v(x),w'(x)

Passo 4

Substituindo u, v, w e suas derivadas:
f'(x) = l(2xcos(x^2)r),ln(x),x^3 + sin(x^2);1x;x^3 + sin(x^2),ln(x),l(3x^2r)

Passo 5

Agora simplificamos cada termo:
l(2xcos(x^2)r),x^3ln(x) =2x^4ln(x)cos(x^2),
sin(x^2);x^3x =x^2sin(x^2),
sin(x^2),ln(x),3x^2 =3x^2ln(x)sin(x^2)
Reescrevendo:
f'(x) =2x^4ln(x)cos(x^2) +x^2sin(x^2) +3x^2ln(x)sin(x^2)
Podemos agrupar os dois últimos termos:
f'(x) =2x^4ln(x)cos(x^2) +x^2sin(x^2)l(1+3ln(x)r)

Resposta

boxedf'(x)=2x^4ln(x)cosl(x^2r) +x^2sinl(x^2r)l(1+3ln(x)r)

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