02 Encontre f^prime(x) de
f(x)=ln (x) cos (x^3+1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=ln(x),cosl(x^3+1r)
O conteúdo envolvido é a regra do produto (para derivar o produto de duas funções) e a regra da cadeia (para derivar cos(x^3+1)).

Passo 2

Definimos
u(x)=ln(x), v(x)=cosl(x^3+1r)
Calculamos primeiro
u'(x)=ddxln(x)=1x

Passo 3

Agora derivamos v(x) usando a regra da cadeia. Temos
v'(x)=ddxcosl(x^3+1r) =-sinl(x^3+1r)cdotddx(x^3+1) =-sinl(x^3+1r)cdot 3x^2

Passo 4

Aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
Substituindo u, u', v e v', obtemos
f'(x) =1x,cosl(x^3+1r) +ln(x),l(-3x^2sin(x^3+1)r)

Passo 5

Por fim, colocamos em forma mais organizada:
f'(x) =cosl(x^3+1r)x -3x^2,ln(x),sinl(x^3+1r)

Resposta

f'(x) =cosl(x^3+1r)x -3x^2,ln(x),sinl(x^3+1r)

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