Verifique se as EDO’s abaixo são do tipo Bernoulli; em caso afirmativo, resolva a EDO.
d) 6 y^prime-2 y=x y^4

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação
6,y' - 2,y = x,y^4
é uma EDO de Bernoulli e, em caso afirmativo, resolvê-la. Esse tipo de equação tem a forma
y' + P(x),y = Q(x),y^n
e se resolve via substituição z=y^1-n.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação em forma padrão dividindo tudo por 6:
y' - 26,y = x6,y^4
ou seja
y' - tfrac13,y = tfracx6,y^4
Aqui vemos que P(x)=-tfrac13, Q(x)=tfracx6 e n=4, logo é uma EDO de Bernoulli.

Passo 3

Para resolver usamos a substituição
z = y^1-n = y^-3
Calculamos a derivada de z em função de y:
z' = -3,y^-4,y'

Passo 4

Expressamos y' da equação original em forma padrão:
y' = tfrac13,y + tfracx6,y^4,
e substituímos em z':
z' = -3,y^-4l(tfrac13,y + tfracx6,y^4r) = -y^-3 - tfracx2 = -z - tfracx2
Logo obtemos a EDO linear para z:
z' + z = -tfracx2

Passo 5

Resolvemos a equação linear usando fator integrante mu(x)=e^integral1,dx=e^x. Multiplicando:
l(e^x zr)' = -tfracx2e^x
Integramos ambos os lados:
e^x z = integral -tfracx2e^x,dx = -tfrac12l(xe^x - e^xr) + C = -tfracx2e^x + tfrac12e^x + C
Dividindo por e^x:
z = -tfracx2 + tfrac12 + C,e^-x = tfrac1-x2 + C,e^-x

Passo 6

Voltando à variável y, temos
y^-3 = tfrac1-x2 + C,e^-x Longrightarrow y^3 = l(tfrac1-x2 + C,e^-xr)^-1
e assim
y(x) = l(tfrac1-x2 + C,e^-xr)^-tfrac13

Resposta

y(x) = l(tfrac1-x2 + C,e^-xr)^-tfrac13,
onde C é constante arbitrária.

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