Determine y^prime=f^prime(x), com as simplificações possíveis, sendo y=f(x) a expressão dada.
y=ln ((2-3 x)^5)

Passo 1

O enunciado nos dá
y = lnl((2-3x)^5r)
e pede y' = f'(x). O conteúdo envolvido é a derivação de logaritmo (regra de derivada de ln(u)) e a regra da cadeia, além da propriedade de logaritmo que permite simplificar potências.

Passo 2

Usamos a propriedade
lnl(u^nr) = n,ln(u)
com u = 2 - 3x e n = 5. Assim
y = lnl((2-3x)^5r) = 5,lnl(2-3xr)

Passo 3

Para derivar, aplicamos dfracddxl[ln(u)r] = dfracu'u e depois a regra da cadeia em u = 2-3x. Logo,
y' = 5 cdot ddxl[ln(2-3x)r] = 5 cdot 12-3xcdotddx(2-3x) = 5 cdot 12-3xcdot(-3) = -152-3x

Resposta

y' = -152-3x

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