Seja
f(x)=arcsin (x^3-5 x+2)
. Calcule f^prime(0)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=arcsinl(x^3-5x+2r)
e pede f'(0). Para isso vamos usar a regra da cadeia e lembrar que, para arcsin(u),
ddxl[arcsin(u)r] =u'raiz1-u^2,

Passo 2

Definimos u(x)=x^3-5x+2. Então
u'(x)=3x^2-5
e, aplicando a regra da cadeia,
f'(x) =u'(x)raiz,1-l(u(x)r)^2, =3x^2-5raiz,1-l(x^3-5x+2r)^2,

Passo 3

Para x=0 temos
u(0)=0^3-5cdot0+2=2
e
u'(0)=3cdot0^2-5=-5
Logo
f'(0) =-5raiz,1-2^2, =-5raiz-3,
que não é real. Além disso, arcsin de 2 não está definido nos reais, então f nem sequer existe como função real em x=0.

Resposta

f'(0) não existe no conjunto dos números reais.

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