(03) Determine \mathrm{P}(\mathrm{Z}<2) onde Z \sim N(0,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a probabilidade de que uma variável aleatória Z, com distribuição normal padrão (média zero e variância um), seja menor que 2, isto é, P(Z<2). Vamos usar a definição da função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão e sua relação com a função erro.

Passo 2

A CDF da normal padrão é definida por
\Phi(x) \;=\; P(Z < x) \;=\; \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-t^{2}/2}\,dt.

Passo 3

Essa integral não tem forma elementar, mas pode ser escrita em termos da função erro \erf:
\Phi(x) \;=\; \frac{1}{2}\Bigl[1 + \erf\bigl(\tfrac{x}{\sqrt{2}}\bigr)\Bigr].

Passo 4

Substituindo x=2 na expressão acima:
\Phi(2) \;=\; \frac{1}{2}\Bigl[1 + \erf\bigl(\tfrac{2}{\sqrt{2}}\bigr)\Bigr] \;=\;\frac{1}{2}\Bigl[1 + \erf(\sqrt{2})\Bigr].

Passo 5

Consultando tabelas ou software para \erf(\sqrt{2})\approx 0{,}9545, obtemos
\Phi(2) \;=\; \frac{1}{2}[1 + 0{,}9545] \;=\; 0{,}97725\;\approx\;0{,}9772.

Resposta

P(Z<2)\approx 0{,}9772

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