(02) Encontre o resultado para \sum_{x=1}^{\infty} \frac{1}{2^{x}}

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita
\sum_{x=1}^{\infty} \frac{1}{2^x}
Trata-se de uma série geométrica com primeiro termo a_1 = \frac{1}{2} e razão r = \frac{1}{2}.

Passo 2

Verificamos a condição de convergência de séries geométricas infinitas: se \lvert r\rvert<1, a série converge. Como \bigl\lvert\frac{1}{2}\bigr\rvert<1, a série converge.

Passo 3

Aplicamos a fórmula da soma de séries geométricas infinitas:
S = \frac{a_1}{1 - r}.

Passo 4

Substituímos os valores de a_1 e r:
S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1.

Resposta

1

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