02 ) Expressar a área S da superfície lateral de um tronco de pirámide hexagonal regular em função dos lados x e y das bases, ^prime da altura z.

Passo 1

O enunciado pede expressar a área lateral S de um tronco de pirâmide hexagonal regular em função dos lados das bases x e y e da altura z. Vamos usar conceitos de apótema de hexágono e área de trapézio para a resolução.

Passo 2

Cada face lateral é um trapézio com bases de comprimentos x e y e altura oblíqua l (aresta lateral). A fórmula da área do trapézio é
Atrapézio=(x+y)2,l é

Passo 3

Para determinar l, observamos o triângulo retângulo formado pela altura z e pela diferença das apótemas das bases. A apótema de um hexágono regular de lado s é a=tfracraiz32s. Assim, as apótemas das bases são
ax=tfracraiz32x, ay=tfracraiz32y
A diferença entre elas vale tfracraiz32(y-x).

Passo 4

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo, obtemos a aresta lateral l:
l=raizz^2+l(tfracraiz32(y-x)r)^2

Passo 5

Como há 6 faces idênticas, a área lateral total é
S=6cdot(x+y)2,l=3(x+y),l

Passo 6

Substituindo o valor de l em S, concluímos:
S=3(x+y)raizz^2+34(y-x)^2

Resposta

S=3(x+y)raizz^2+tfrac34(y-x)^2

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