02 - Limiar de Corrente para um Laser de Diodo InGaAsP. Considere um laser baseado num semicondutor InGaAsP com os seguintes parâmetros do material:
x
, e
para
. Assuma que as dimensões da junção são
microns,
microns,
microns. A densidade de corrente necessária para transparência é calculada como snedo
. Determine o limiar de corrente para oscilação laser, assumindo que o coeficiente de atenuação total seja
.
Passo 1
O enunciado pede o limiar de corrente (corrente de threshold) para que o laser comece a oscilar. Dados fornecidos (vou listá‑los exatamente como dados, todos os símbolos matemáticos em TeX):
dimensões da junção:
densidade de corrente de transparência (já calculada no enunciado):
coeficiente de atenuação total (perda) dado:
Observação importante (para não ficar perdido): o enunciado deu um parâmetro chamado
sem unidade clara. Para proceder vou interpretar esse parâmetro como o ganho diferencial por portador (o coeficiente que relaciona ganho material com variação de densidade de portadores) no formato usado em modelos lineares
. Para que as unidades fiquem coerentes com
em
e
em
, esse ganho diferencial deve ter unidade
. Uma forma conveniente de entender o número fornecido é assumir que
o que é fisicamente plausível (ordem de
). Além disso, como o fator de confinamento óptico
não foi fornecido, vou adotar a hipótese de ordem‑de‑grandeza mais simples e frequentemente usada em exercícios introdutórios:
(ou seja, assumir confinamento total na camada ativa) — eu explico e comento essa hipótese mais adiante. Com esses entendimentos podemos continuar a resolução.
Passo 2
Princípio físico do limiar: o laser começa a oscilar quando o ganho modal compensa exatamente as perdas totais. Em fórmula:
onde
-
é o fator de confinamento modal (fração da intensidade óptica que interage com a região ativa); -
é o ganho material (em ); -
é a atenuação total (perdas) em ; -
é a densidade de portadores no limiar.
Modelo linear de ganho próximo à transparência: usamos a aproximação
onde
-
é o ganho diferencial (unidade ); -
é a densidade de portadores (aqui usamos para indicar a variação de portadores na região ativa; no enunciado é a densidade de transparência).
Combinando com a condição de limiar e assumindo
:
Passo 3
Isolamos
. Da equação anterior:
Agora substituímos números (lembrando que adotamos
):
Logo
Comentário didático: esse passo traduz a ideia física de que para superar as perdas
é preciso um excesso de portadores acima da densidade de transparência
; a quantidade desse excesso vem da razão entre perdas e ganho diferencial
.
Passo 4
Passamos da densidade de portadores
para a densidade de corrente no limiar
. Num regime estacionário, a densidade de corrente necessária para manter uma densidade
na camada ativa é dada por:
onde
-
é a carga do elétron; -
é a densidade de portadores (aqui usamos ); -
é a espessura da camada ativa (em cm); -
é a eficiência quântica interna (fração de portadores que geram fótons); -
é o tempo de vida efetivo dos portadores (aqui fornecido como ).
Substituindo
e os valores numéricos (atenção às conversões de unidade:
,
):
Vamos calcular passo a passo:
Observação: isso é compatível com
; o limiar pede um pouco mais do que a transparência.
Passo 5
Agora transformamos a densidade de corrente limite
em corrente total
. A corrente total é a densidade multiplicada pela área da junção (área da secção transversal pela qual a corrente flui). A área ativa (na direção do chip) é:
com
e
, portanto
Logo a corrente de limiar:
Calcule:
Passo 6
Comentário final e checagem rápida:
- Resultado numérico:
(741 mA). - Hipóteses que fizemos e que influenciam fortemente o resultado: (i) interpretamos o parâmetro
como ganho diferencial ; (ii) assumimos fator de confinamento . Na prática real e o ganho diferencial costuma ser dado explicitamente em unidades de ; se o valor de aumenta (e, portanto, aumenta). Assim, se você tiver o valor real de ou outra interpretação para , substitua na fórmula do Passo 3 e repita os cálculos — o procedimento é exatamente o mesmo.