02 - Limiar de Corrente para um Laser de Diodo InGaAsP. Considere um laser baseado num semicondutor InGaAsP com os seguintes parâmetros do material: \Delta \mathrm{n}_{\mathrm{T}}=1,25 x 10^{18} \mathrm{~cm}^{-3}, \alpha=600 \mathrm{~cm}^{-1}, \tau_{\mathrm{p}}=2.5 \mathrm{~ns}, \mathrm{n}=3.5, e \eta_{\mathrm{i}}=0,5 para \mathrm{T}=300 \mathrm{~K}. Assuma que as dimensões da junção são \mathrm{d}=200 microns, \mathrm{w}=10 microns, \mathrm{e} \mathrm{l}=2 microns. A densidade de corrente necessária para transparência é calculada como snedo \mathrm{J}_{\mathrm{T}}=3,2 \times 104 \mathrm{~A} / \mathrm{cm}^{2}. Determine o limiar de corrente para oscilação laser, assumindo que o coeficiente de atenuação total seja \alpha_{\mathrm{r}}=118 \mathrm{~cm}^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede o limiar de corrente (corrente de threshold) para que o laser comece a oscilar. Dados fornecidos (vou listá‑los exatamente como dados, todos os símbolos matemáticos em TeX):
\Delta n_{T}=1,25\times10^{18}\\ \mathrm{cm^{-3}},
\alpha=600,
\tau_{p}=2{,}5\\ \mathrm{ns},
n=3{,}5,
\eta_{i}=0{,}5,
dimensões da junção:
d=200\\ \mu\mathrm{m},\quad w=10\\ \mu\mathrm{m},\quad e_{l}=2\\ \mu\mathrm{m},
densidade de corrente de transparência (já calculada no enunciado):
J_{T}=3{,}2\times10^{4}\\ \mathrm{A/cm^{2}},
coeficiente de atenuação total (perda) dado:
\alpha_{r}=118\\ \mathrm{cm^{-1}}.
Observação importante (para não ficar perdido): o enunciado deu um parâmetro chamado \alpha sem unidade clara. Para proceder vou interpretar esse parâmetro como o ganho diferencial por portador (o coeficiente que relaciona ganho material com variação de densidade de portadores) no formato usado em modelos lineares g(N)=a\,( \Delta n-\Delta n_{T}). Para que as unidades fiquem coerentes com g em \mathrm{cm^{-1}} e \Delta n em \mathrm{cm^{-3}}, esse ganho diferencial deve ter unidade \mathrm{cm^{2}}. Uma forma conveniente de entender o número fornecido é assumir que
a=600\times10^{-18}\\ \mathrm{cm^{2}}=6{,}00\times10^{-16}\\ \mathrm{cm^{2}},
o que é fisicamente plausível (ordem de 10^{-16}\\ \mathrm{cm^{2}}). Além disso, como o fator de confinamento óptico \Gamma não foi fornecido, vou adotar a hipótese de ordem‑de‑grandeza mais simples e frequentemente usada em exercícios introdutórios: \Gamma=1 (ou seja, assumir confinamento total na camada ativa) — eu explico e comento essa hipótese mais adiante. Com esses entendimentos podemos continuar a resolução.

Passo 2

Princípio físico do limiar: o laser começa a oscilar quando o ganho modal compensa exatamente as perdas totais. Em fórmula:
\Gamma\,g(N_{\text{th}})=\alpha_{r},
onde
  • \Gamma é o fator de confinamento modal (fração da intensidade óptica que interage com a região ativa);
  • g(N) é o ganho material (em \mathrm{cm^{-1}});
  • \alpha_{r} é a atenuação total (perdas) em \mathrm{cm^{-1}};
  • N_{\text{th}} é a densidade de portadores no limiar.
Modelo linear de ganho próximo à transparência: usamos a aproximação
g(N)=a\bigl(\Delta n-\Delta n_{T}\bigr),
onde
  • a é o ganho diferencial (unidade \mathrm{cm^{2}});
  • \Delta n é a densidade de portadores (aqui usamos \Delta n para indicar a variação de portadores na região ativa; no enunciado \Delta n_{T} é a densidade de transparência).
Combinando com a condição de limiar e assumindo \Gamma=1:
a\bigl(\Delta n_{\text{th}}-\Delta n_{T}\bigr)=\alpha_{r}.

Passo 3

Isolamos \Delta n_{\text{th}}. Da equação anterior:
\Delta n_{\text{th}}=\Delta n_{T}+\frac{\alpha_{r}}{a}.
Agora substituímos números (lembrando que adotamos a=600\times10^{-18}\\ \mathrm{cm^{2}}=6{,}00\times10^{-16}\\ \mathrm{cm^{2}}):
\frac{\alpha_{r}}{a}=\frac{118\\ \mathrm{cm^{-1}}}{6{,}00\times10^{-16}\\ \mathrm{cm^{2}}} =1{,}9666667\times10^{17}\\ \mathrm{cm^{-3}}.
Logo
\Delta n_{\text{th}}=1{,}25\times10^{18}+1{,}9666667\times10^{17} =1{,}4466667\times10^{18}\\ \mathrm{cm^{-3}}.
Comentário didático: esse passo traduz a ideia física de que para superar as perdas \alpha_{r} é preciso um excesso de portadores acima da densidade de transparência \Delta n_{T}; a quantidade desse excesso vem da razão entre perdas e ganho diferencial a.

Passo 4

Passamos da densidade de portadores \Delta n_{\text{th}} para a densidade de corrente no limiar J_{\text{th}}. Num regime estacionário, a densidade de corrente necessária para manter uma densidade \Delta n na camada ativa é dada por:
J=\frac{q\,\Delta n\,e_{l}}{\eta_{i}\,\tau_{p}},
onde
  • q=1{,}6\times10^{-19}\\ \mathrm{C} é a carga do elétron;
  • \Delta n é a densidade de portadores (aqui usamos \Delta n_{\text{th}});
  • e_{l} é a espessura da camada ativa (em cm);
  • \eta_{i} é a eficiência quântica interna (fração de portadores que geram fótons);
  • \tau_{p} é o tempo de vida efetivo dos portadores (aqui fornecido como 2{,}5\\ \mathrm{ns}).
Substituindo \Delta n_{\text{th}} e os valores numéricos (atenção às conversões de unidade: e_{l}=2\\ \mu\mathrm{m}=2\times10^{-4}\\ \mathrm{cm}, \tau_{p}=2{,}5\\ \mathrm{ns}=2{,}5\times10^{-9}\\ \mathrm{s}):
J_{\text{th}}=\frac{(1{,}6\times10^{-19})\,(1{,}4466667\times10^{18})\,(2\times10^{-4})}{0{,}5\,(2{,}5\times10^{-9})}.
Vamos calcular passo a passo:
(1{,}6\times10^{-19})\,(1{,}4466667\times10^{18})=2{,}3146667\times10^{-1},
2{,}3146667\times10^{-1}\times(2\times10^{-4})=4{,}6293334\times10^{-5},
\frac{4{,}6293334\times10^{-5}}{2{,}5\times10^{-9}}=1{,}85173336\times10^{4},
J_{\text{th}}=\frac{1{,}85173336\times10^{4}}{0{,}5}=3{,}70346672\times10^{4}\\ \mathrm{A/cm^{2}}.
Observação: isso é compatível com J_{T}=3{,}2\times10^{4}\\ \mathrm{A/cm^{2}}; o limiar pede um pouco mais do que a transparência.

Passo 5

Agora transformamos a densidade de corrente limite J_{\text{th}} em corrente total I_{\text{th}}. A corrente total é a densidade multiplicada pela área da junção (área da secção transversal pela qual a corrente flui). A área ativa (na direção do chip) é:
A=d\times w,
com d=200\\ \mu\mathrm{m}=0{,}02\\ \mathrm{cm} e w=10\\ \mu\mathrm{m}=0{,}001\\ \mathrm{cm}, portanto
A=0{,}02\times0{,}001=2{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{cm^{2}}.
Logo a corrente de limiar:
I_{\text{th}}=J_{\text{th}}\times A =3{,}70346672\times10^{4}\times2{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{A}.
Calcule:
I_{\text{th}}=0{,}740693344\\ \mathrm{A}\approx0{,}741\\ \mathrm{A}.

Passo 6

Comentário final e checagem rápida:
  • Resultado numérico: I_{\text{th}}\approx0{,}741\\ \mathrm{A} (741 mA).
  • Hipóteses que fizemos e que influenciam fortemente o resultado: (i) interpretamos o parâmetro \alpha como ganho diferencial a=600\times10^{-18}\\ \mathrm{cm^{2}}; (ii) assumimos fator de confinamento \Gamma=1. Na prática real \Gamma<1 e o ganho diferencial costuma ser dado explicitamente em unidades de \mathrm{cm^{2}}; se \Gamma<1 o valor de \Delta n_{\text{th}} aumenta (e, portanto, I_{\text{th}} aumenta). Assim, se você tiver o valor real de \Gamma ou outra interpretação para \alpha, substitua na fórmula do Passo 3 e repita os cálculos — o procedimento é exatamente o mesmo.

Resposta

I_{\mathrm{th}}=0{,}741\\ \mathrm{A}

Exercícios relacionados