02 - Malu, de três anos, estava com febre e muita tosse. Roberta, sua mãe, resolveu levá-la ao médico, que prescreveu o seguinte tratamento:
  • xarope “A”, de dez em dez horas, somente enquanto a tosse persistisse;
  • antitérmico “B”, de seis em seis horas, apenas enquanto a febre perdurasse;
  • antibiótico “C”, de oito em oito horas, durante dez dias ininterruptos.
Roberta, muito precavida, logo após comprar toda a medicação, começou o tratamento, dando à menina uma dose (simultânea) dos três medicamentos, às 16 horas do dia 01/10/2017. Roberta também elaborou uma tabela, em que ia anotando todos os horários em que a Malu tomava cada um dos remédios. Sabe-se que a febre desapareceu ao final do terceiro dia completo de tratamento ( 72 horas), mas a tosse só acabou definitivamente após cinco dias inteiros de uso do xarope. Sendo assim, podemos afirmar que, no dia 03 / 10 / 2017, às 16 horas, a menina tomou, simultaneamente, os medicamentos
a) \mathrm{A}, \mathrm{B} e C .
b) A \in B.
c) BeC .
d) A e C .

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Início do tratamento: dose simultânea dos três remédios às \,16:00 do dia \,01/10/2017.
  • Xarope A: de \,10 em \,10 horas, somente enquanto a tosse persistir.
  • Antitérmico B: de \,6 em \,6 horas, apenas enquanto a febre perdurar.
  • Antibiótico C: de \,8 em \,8 horas, durante \,10 dias ininterruptos.
  • A febre desapareceu ao final do terceiro dia completo de tratamento, isto é, após \,72 horas do início.
  • A tosse só acabou definitivamente após cinco dias inteiros de uso do xarope, isto é, após \,5 dias =120 horas do início.
O que o enunciado pergunta:
  • No dia \,03/10/2017, às \,16:00, quais medicamentos foram tomados simultaneamente? (Escolher entre as alternativas fornecidas.)

Passo 2

Determinar quantas horas se passaram entre o início do tratamento e o momento de interesse.
  • Início: \,01/10/2017 às \,16:00.
  • Momento pedido: \,03/10/2017 às \,16:00.
  • Diferença: dois dias completos \Rightarrow \,2\cdot24=48 horas.
Portanto estamos analisando o instante \,t=48 horas após a dose inicial.

Passo 3

Entender quando cada remédio é administrado em termos de horas desde o início.
  • Medicamento A: administrado nos instantes t tais que t é múltiplo de \,10 (ou seja t=0,10,20,30,40,50,\dots horas), enquanto a tosse durar. A tosse dura até \,t=120 horas, então todos os múltiplos de \,10 menores ou iguais a \,120 são doses válidas.
  • Medicamento B: administrado nos instantes t tais que t é múltiplo de \,6 (ou seja t=0,6,12,18,24,30,36,42,48,\dots horas), enquanto a febre durar. A febre dura até \,t=72 horas, então os múltiplos de \,6 menores ou iguais a \,72 são doses válidas.
  • Medicamento C: administrado nos instantes t tais que t é múltiplo de \,8 (ou seja t=0,8,16,24,32,40,48,\dots horas), durante \,10 dias = \,240 horas, portanto todos os múltiplos de \,8 até \,240 são válidos.

Passo 4

Verificar se \,t=48 é múltiplo dos períodos de cada medicamento (isto é, se a dose cai exatamente nesse instante).
  • Para A (periodicidade \,10 horas): calcular resto da divisão de \,48 por \,10.
    48 = 10\cdot4 + 8,
    logo o resto é \,8. Portanto \,48 não é múltiplo de \,10; o xarope A não é administrado exatamente às \,48 horas.
  • Para B (periodicidade \,6 horas): verificar se \,48 é múltiplo de \,6.
    48 = 6\cdot8,
    portanto \,48 é múltiplo de \,6. Além disso a febre só desaparece em \,t=72 horas, então aos \,48 horas a febre ainda persiste; logo B é administrado às \,48 horas.
  • Para C (periodicidade \,8 horas): verificar se \,48 é múltiplo de \,8.
    48 = 8\cdot6,
    portanto \,48 é múltiplo de \,8. O antibiótico é dado ininterruptamente por \,240 horas, e \,48<240, então C é administrado às \,48 horas.

Passo 5

Concluir quais medicamentos foram tomados simultaneamente no instante pedido.
  • A: não (porque \,48 não é múltiplo de \,10).
  • B: sim (porque \,48 é múltiplo de \,6 e a febre ainda durava).
  • C: sim (porque \,48 é múltiplo de \,8 e o tratamento de \,C é contínuo).
Logo, no dia \,03/10/2017 às \,16:00 foram tomados simultaneamente os medicamentos B e C.

Resposta

c) B e C.

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