04 - Mauro cultiva em seu laboratório três variedades da mesma planta, A, B e C. Esses exemplares se desenvolvem cada um a seu tempo, de acordo com a tabela a seguir.
Variedade Tempo de germinação (em semanas, após o plantio) Tempo de floração (em semanas, após a germinação) Tempo para uma única colheita (em semanas, após a floração)
A 5 3 1
B 3 2 1
C 2 1 1
Ele inicia um experimento plantando as três variedades no mesmo dia e que, a cada dia de colheita, outra semente da mesma variedade será plantada. Com base nos dados da tabela, o número mínimo de semanas necessárias para que a colheita das três variedades ocorra simultaneamente, será

Passo 1

O enunciado nos dá as três variedades plantadas no mesmo dia e que, toda vez que houver colheita de uma variedade, outra semente da mesma variedade é plantada naquele dia. A tabela fornece, para cada variedade, os tempos (em semanas):
  • Variedade A: tempo de germinação \,5, tempo de floração \,3, tempo para uma única colheita \,1.
  • Variedade B: tempo de germinação \,3, tempo de floração \,2, tempo para uma única colheita \,1.
  • Variedade C: tempo de germinação \,2, tempo de floração \,1, tempo para uma única colheita \,1.
O que o problema pede: determinar o número mínimo de semanas necessárias para que exista um instante em que ocorram simultaneamente colheitas das três variedades A, B e C.

Passo 2

Calcular o tempo total, em semanas, entre o plantio e a colheita de uma planta de cada variedade (somando germinação + floração + tempo para colheita). Esses tempos são os períodos entre colheitas sucessivas da mesma variedade, já que, ao colher, planta-se outra imediatamente.
Para A:
T_A = 5 + 3 + 1 = 9
Para B:
T_B = 3 + 2 + 1 = 6
Para C:
T_C = 2 + 1 + 1 = 4
Portanto, as colheitas de A ocorrem em semanas múltiplas de \,T_A=9; as de B em múltiplos de \,T_B=6; e as de C em múltiplos de \,T_C=4.

Passo 3

Modelagem dos instantes de colheita: se o plantio inicial ocorre em t=0, então os instantes de colheita são:
  • Para A: 9, 18, 27, 36,\dots (múltiplos de \,9).
  • Para B: 6, 12, 18, 24, 30, 36,\dots (múltiplos de \,6).
  • Para C: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36,\dots (múltiplos de \,4).
Queremos o menor t>0 que pertença simultaneamente aos três conjuntos acima — isto é, o menor múltiplo comum de \,9, \,6 e \,4.

Passo 4

Explicando o conceito necessário: o menor múltiplo comum (MMC, também chamado de LCM em inglês) de vários inteiros é o menor inteiro positivo que é múltiplo de todos eles. Uma forma prática de calcular o MMC é usar a fatoração prima de cada número e tomar, para cada primo, a maior potência que aparece nas fatorações.
Fatorações primas:
9 = 3^{2}, \qquad 6 = 2\cdot 3, \qquad 4 = 2^{2}.

Passo 5

Construção do MMC a partir das fatorações: tomar a maior potência de 2 que aparece (que é 2^{2} de 4) e a maior potência de 3 que aparece (que é 3^{2} de 9). Assim
\mathrm{MMC}(9,6,4) = 2^{2}\cdot 3^{2}.
Calcule:
2^{2}\cdot 3^{2} = 4\cdot 9 = 36.
Verificação rápida: \,36 é múltiplo de \,9 (pois 36/9=4), de \,6 (pois 36/6=6) e de \,4 (pois 36/4=9). Nenhum múltiplo positivo menor que \,36 satisfaz isso (por exemplo, \,12 é múltiplo de 6 e 4 mas não de 9; \,18 é múltiplo de 9 e 6 mas não de 4).

Passo 6

Conclusão: o menor tempo positivo em semanas em que haverá colheitas simultâneas das três variedades é \,36 semanas. Força aí — 36 semanas é o primeiro instante em que tudo converge; agora já dá pra anotar na folha de prova sem medo!

Resposta

\,36\\ \text{semanas}

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