04 - Mauro cultiva em seu laboratório três variedades da mesma planta, A, B e C. Esses exemplares se desenvolvem cada um a seu tempo, de acordo com a tabela a seguir.
Variedade
Tempo de germinação (em semanas, após o plantio)
Tempo de floração (em semanas, após a germinação)
Tempo para uma única colheita (em semanas, após a floração)
A
5
3
1
B
3
2
1
C
2
1
1
Ele inicia um experimento plantando as três variedades no mesmo dia e que, a cada dia de colheita, outra semente da mesma variedade será plantada. Com base nos dados da tabela, o número mínimo de semanas necessárias para que a colheita das três variedades ocorra simultaneamente, será
| Variedade | Tempo de germinação (em semanas, após o plantio) | Tempo de floração (em semanas, após a germinação) | Tempo para uma única colheita (em semanas, após a floração) |
| A | 5 | 3 | 1 |
| B | 3 | 2 | 1 |
| C | 2 | 1 | 1 |
Passo 1
O enunciado nos dá as três variedades plantadas no mesmo dia e que, toda vez que houver colheita de uma variedade, outra semente da mesma variedade é plantada naquele dia. A tabela fornece, para cada variedade, os tempos (em semanas):
- Variedade A: tempo de germinação
, tempo de floração , tempo para uma única colheita . - Variedade B: tempo de germinação
, tempo de floração , tempo para uma única colheita . - Variedade C: tempo de germinação
, tempo de floração , tempo para uma única colheita .
O que o problema pede: determinar o número mínimo de semanas necessárias para que exista um instante em que ocorram simultaneamente colheitas das três variedades A, B e C.
Passo 2
Calcular o tempo total, em semanas, entre o plantio e a colheita de uma planta de cada variedade (somando germinação + floração + tempo para colheita). Esses tempos são os períodos entre colheitas sucessivas da mesma variedade, já que, ao colher, planta-se outra imediatamente.
Para A:
Para B:
Para C:
Portanto, as colheitas de A ocorrem em semanas múltiplas de
; as de B em múltiplos de
; e as de C em múltiplos de
.
Passo 3
Modelagem dos instantes de colheita: se o plantio inicial ocorre em
, então os instantes de colheita são:
- Para A:
(múltiplos de ). - Para B:
(múltiplos de ). - Para C:
(múltiplos de ).
Queremos o menor
que pertença simultaneamente aos três conjuntos acima — isto é, o menor múltiplo comum de
,
e
.
Passo 4
Explicando o conceito necessário: o menor múltiplo comum (MMC, também chamado de LCM em inglês) de vários inteiros é o menor inteiro positivo que é múltiplo de todos eles. Uma forma prática de calcular o MMC é usar a fatoração prima de cada número e tomar, para cada primo, a maior potência que aparece nas fatorações.
Fatorações primas:
Passo 5
Construção do MMC a partir das fatorações: tomar a maior potência de
que aparece (que é
de
) e a maior potência de
que aparece (que é
de
). Assim
Calcule:
Verificação rápida:
é múltiplo de
(pois
), de
(pois
) e de
(pois
). Nenhum múltiplo positivo menor que
satisfaz isso (por exemplo,
é múltiplo de
e
mas não de
;
é múltiplo de
e
mas não de
).
Passo 6
Conclusão: o menor tempo positivo em semanas em que haverá colheitas simultâneas das três variedades é
semanas. Força aí — 36 semanas é o primeiro instante em que tudo converge; agora já dá pra anotar na folha de prova sem medo!