03 - Uma professora particular tem três alunos matriculadas regularmente nas suas aulas. O produto da sua idade com as idades de seus 3 alunos é 37.037. Desta forma, pode-se afirmar que a diferença entre as idades de seu aluno mais velho e seu aluno mais novo é
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (resumo claro do que temos):
  • Foi informado que o produto da idade da professora com as idades de seus três alunos é 37{,}037.
  • As idades são consideradas em anos inteiros (naturais).
  • A pergunta: “a diferença entre as idades de seu aluno mais velho e seu aluno mais novo” — ou seja, calcular
\text{idade do aluno mais velho} - \text{idade do aluno mais novo}.

Passo 2

Primeira ideia importante (mini-aula): fatoração em primos e Teorema Fundamental da Aritmética.
  • Todo inteiro maior que 1 pode ser escrito como produto de números primos de forma única (até ordem). Isso nos garante que, para fatorar 37{,}037, é suficiente decompor em primos.
  • Método prático: testar divisibilidade por primos pequenos ( 2,3,5,7,11,\dots) até encontrar fatores. Quando dividimos por um primo e obtemos um quociente inteiro, continuamos fatorando o quociente.

Passo 3

Vamos fatorar 37{,}037 passo a passo usando divisões por primos (tudo em contas que dá para fazer à mão).
Primeiro, observar que 37{,}037 termina com 37, e tentar dividir por 37:
37{,}037 \div 37 = 1{,}001,
portanto
37{,}037 = 37 \times 1{,}001.
Agora fatoramos 1{,}001. Conhecimento útil: 1{,}001=1001 é um número clássico que se fatoriza como
1{,}001 = 7 \times 11 \times 13.
Portanto, juntando tudo,
37{,}037 = 37 \times 7 \times 11 \times 13.

Passo 4

Interpretação das fatorações em relação às idades:
  • O produto das quatro idades (professora + 3 alunos) é o produto acima de quatro primos 37,\;7,\;11,\;13.
  • Pelo Teorema Fundamental da Aritmética e pelo fato de termos exatamente quatro pessoas, a maneira mais natural — e única, assumindo idades inteiras maiores que 1 — de atribuir fatores é que cada pessoa tem exatamente um desses fatores como idade: as quatro idades são 37,\;13,\;11,\;7 (em alguma ordem).
  • Como a pessoa professora é adulta, o fator compatível é 37 anos; os três alunos ficam com 13,\;11,\;7 anos. (Se alguém questionar outras combinações, note que qualquer combinação que torne a professora composta obrigaria uma idade igual a 1 para outra pessoa ou idades não inteiras, o que não faz sentido no enunciado razoável.)

Passo 5

Calcular a diferença entre o aluno mais velho e o mais novo:
  • O aluno mais velho entre os três tem 13 anos e o mais novo tem 7 anos.
\text{diferença} = 13 - 7 = 6.ç
Pequeno incentivo: deu trabalho fatorar, mas a ideia é sempre procurar fatores primos e usar o fato de que há exatamente quatro pessoas — facilita bastante!

Resposta

(c) 6

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