03 - Uma professora particular tem três alunos matriculadas regularmente nas suas aulas. O produto da sua idade com as idades de seus 3 alunos é 37.037. Desta forma, pode-se afirmar que a diferença entre as idades de seu aluno mais velho e seu aluno mais novo é
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (resumo claro do que temos):
- Foi informado que o produto da idade da professora com as idades de seus três alunos é
. - As idades são consideradas em anos inteiros (naturais).
- A pergunta: “a diferença entre as idades de seu aluno mais velho e seu aluno mais novo” — ou seja, calcular
Passo 2
Primeira ideia importante (mini-aula): fatoração em primos e Teorema Fundamental da Aritmética.
- Todo inteiro maior que
pode ser escrito como produto de números primos de forma única (até ordem). Isso nos garante que, para fatorar , é suficiente decompor em primos. - Método prático: testar divisibilidade por primos pequenos (
) até encontrar fatores. Quando dividimos por um primo e obtemos um quociente inteiro, continuamos fatorando o quociente.
Passo 3
Vamos fatorar
passo a passo usando divisões por primos (tudo em contas que dá para fazer à mão).
Primeiro, observar que termina com
, e tentar dividir por
:
Primeiro, observar que
portanto
Agora fatoramos
. Conhecimento útil:
é um número clássico que se fatoriza como
Portanto, juntando tudo,
Passo 4
Interpretação das fatorações em relação às idades:
- O produto das quatro idades (professora + 3 alunos) é o produto acima de quatro primos
. - Pelo Teorema Fundamental da Aritmética e pelo fato de termos exatamente quatro pessoas, a maneira mais natural — e única, assumindo idades inteiras maiores que
— de atribuir fatores é que cada pessoa tem exatamente um desses fatores como idade: as quatro idades são (em alguma ordem). - Como a pessoa professora é adulta, o fator compatível é
anos; os três alunos ficam com anos. (Se alguém questionar outras combinações, note que qualquer combinação que torne a professora composta obrigaria uma idade igual a para outra pessoa ou idades não inteiras, o que não faz sentido no enunciado razoável.)
Passo 5
Calcular a diferença entre o aluno mais velho e o mais novo:
- O aluno mais velho entre os três tem
anos e o mais novo tem anos.
Pequeno incentivo: deu trabalho fatorar, mas a ideia é sempre procurar fatores primos e usar o fato de que há exatamente quatro pessoas — facilita bastante!
Resposta
(c) 6