02(5,0) - Uma onda EM harmônica plana se propaga em um pedaço de vidro e tem as componentes do campo elétrico nas direções \hat{x}, \hat{y} e \hat{z} dadas respectivamente por:
E_{x}=5 \cos \left\{6 \pi \times 10^{14}\left[\left(z / 0.64 c_{0}\right)+t\right]\right\} \quad \mathrm{V} / \mathrm{m}, \quad E_{y}=5 \cos \left\{6 \pi \times 10^{14}\left[\left(z / 0.64 c_{0}\right)+t\right]\right\}
E_{z}=0. Considere as dimensões no SI, com c_{0}=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine:
(b) Represente graficamente a propagação desta onda EM nos eixos x-y-z.

Passo 1

O enunciado nos deu as componentes do campo elétrico (peguei-as do enunciado):
E_x=5\cos\!\bigl\{6\pi\times10^{14}\bigl[\bigl(z/(0,64\,c_0)\bigr)+t\bigr]\bigr\}\\ \mathrm{V/m}, \qquad E_y=5\cos\!\bigl\{6\pi\times10^{14}\bigl[\bigl(z/(0,64\,c_0)\bigr)+t\bigr]\bigr\}\\ \mathrm{V/m},
E_z=0, \qquad c_0=3\times10^8\\ \mathrm{m/s}.
A parte (b) pede que eu represente graficamente a propagação desta onda nos eixos x- y- z. Ou seja: quero um desenho (ou instruções para desenhar) que mostre a direção de propagação, as frentes de onda, e como o vetor \mathbf{E} varia no espaço e no tempo.

Passo 2

Escrevendo o vetor campo elétrico de forma compacta (fórmula que é útil para desenhar):
\mathbf{E}(z,t)=5\cos\!\bigl(\omega t + k z\bigr)\,\hat{x}+5\cos\!\bigl(\omega t + k z\bigr)\,\hat{y}.
Fatorando:
\mathbf{E}(z,t)=5\cos\!\bigl(\omega t + k z\bigr)\,(\hat{x}+\hat{y}).
Agora calculamos os parâmetros físicos importantes (imersão teórica curta para ajudar a desenhar):
Calculemos \omega (frequência angular), k (número de onda), f (frequência) e \lambda (comprimento de onda).
\omega=6\pi\times10^{14}\\ \mathrm{rad/s}.
A velocidade de fase dada pela expressão é v=0,64\,c_0. Logo
k=\frac{\omega}{v}=\frac{6\pi\times10^{14}}{0,64\times3\times10^{8}} =3{,}125\pi\times10^{6}\\ \mathrm{rad/m}\approx9{,}82\times10^{6}\\ \mathrm{rad/m}.
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{6\pi\times10^{14}}{2\pi}=3\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{v}{f}=0{,}64\frac{c_0}{3\times10^{14}}=6{,}4\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=640\\ \mathrm{nm}.

Passo 3

Determine a direção de propagação a partir do sinal no argumento do cosseno. O argumento é \omega t + k z. Constantes de fase satisfazem \omega t + k z=\text{const}, então
z = \text{const} - \frac{\omega}{k}t = \text{const} - v t.
Isso mostra que as frentes de fase deslocam-se para valores menores de z quando t aumenta; logo a onda propaga-se no sentido negativo do eixo z (direção -\hat{z}). Resumo:
\text{propagação: direção } -\hat{z}.çãçã

Passo 4

Polarização (como desenhar a direção do vetor \mathbf{E}):
  • As componentes E_x e E_y têm mesma amplitude e estão em fase (mesmo argumento do cosseno). Portanto o vetor \mathbf{E} aponta sempre numa direção fixa no plano xy, proporcional a \hat{x}+\hat{y}.
  • A direção unitária do campo elétrico é
\hat{e}_E=\frac{\hat{x}+\hat{y}}{\sqrt{2}}
(equilátero entre x e y: ângulo de 45^\circ medido a partir de \hat{x} para \hat{y}). Assim a polarização é linear, na direção 45^\circ no plano xy.
Também a amplitude instantânea do vetor é
|\mathbf{E}|=5\sqrt{2}\,|\cos(\omega t + k z)|.

Passo 5

Como desenhar passo a passo (snapshot em um instante e depois mostrar movimento):
  1. Escolha um instante fixo, por exemplo t=0. Nesse snap-shot:
\mathbf{E}(z,0)=5\cos(k z)\,(\hat{x}+\hat{y}).
  1. Para desenhar a onda ao longo do eixo z, marque pontos ao longo do eixo z separados por \lambda/4 (isto é prático porque as razões de cosseno são simples). Use as posições:
z=0,\\ \frac{\lambda}{4},\\ \frac{\lambda}{2},\\ \frac{3\lambda}{4},\\ \lambda,\\ \ldots
Calcule os valores:
\cos(0)=1 \Rightarrow \mathbf{E}=(5,5,0)\\ \mathrm{V/m}
\cos\!\Bigl(k\frac{\lambda}{4}\Bigr)=\cos\!\Bigl(\frac{\pi}{2}\Bigr)=0 \Rightarrow \mathbf{E}=(0,0,0)
\cos\!\Bigl(k\frac{\lambda}{2}\Bigr)=\cos(\pi)=-1 \Rightarrow \mathbf{E}=(-5,-5,0)\\ \mathrm{V/m}
\cos\!\Bigl(k\frac{3\lambda}{4}\Bigr)=\cos\!\Bigl(\tfrac{3\pi}{2}\Bigr)=0 \Rightarrow \mathbf{E}=(0,0,0)
\cos\!(k\lambda)=\cos(2\pi)=1 \Rightarrow \mathbf{E}=(5,5,0)
  1. No desenho, para cada ponto z desenhe um vetor no plano xy apontando na direção 45^\circ (para cima e à direita se positivo) com comprimento proporcional ao valor de |\cos(\cdot)| e sentido positivo quando \cos>0 e invertido quando \cos<0. Assim alternam-se flechas para frente (5,5) → nula → para trás (−5,−5) → nula → etc.
  2. Para mostrar a propagação no tempo, faça outro snapshot em t=t_1>0. Os vetores em z estarão deslocados para a direita ou esquerda? Pelo passo 3 vimos que a onda se desloca no sentido -\hat{z}. Portanto, ao avançar o tempo, as mesmas estruturas (máx., zeros, mínimos) movem-se na direção negativa de z. No desenho, isso é mostrado desenhando as mesmas flechas deslocadas na direção -z em snapshots sucessivos.

Passo 6

Frentes de onda e campo magnético (informações úteis para o gráfico):
  • Frentes de onda (planos de mesma fase) são planos perpendiculares ao eixo z (superfícies z= constante) separados por \lambda.
  • A direção do campo magnético \mathbf{B} é perpendicular tanto a \mathbf{E} quanto à direção de propagação -\hat{z}. Usando o produto vetorial, uma escolha consistente para a direção de \mathbf{B} (sentido) é
\hat{e}_B=\frac{-\hat{x}+\hat{y}}{\sqrt{2}}
ou seja, também no plano xy mas ortogonal a \hat{e}_E. No gráfico desenhe \mathbf{B} como vetores perpendiculares a \mathbf{E} (com amplitude proporcional a |\mathbf{E}|/v, se quiser precisão de magnitude).

Passo 7

Instruções finais de desenho resumidas (para você rabiscar rápido na folha de prova):
  • Trace eixos z horizontal (posição), x e y como eixo vertical e eixo perpendicular ao plano do papel (ou desenhe x para direita e y para cima); indique claramente que \mathbf{E} está no plano xy numa direção a 45^\circ.
  • Marque no eixo z pontos separados por \lambda/4=160\\ \mathrm{nm} (porque \lambda=640\\ \mathrm{nm}): 0,\lambda/4,\lambda/2,\dots.
  • Em cada ponto desenhe uma seta ao longo da direção \hat{e}_E=(\hat{x}+\hat{y})/\sqrt{2} com comprimento proporcional a 5|\cos(\omega t + k z)| e sentido dado pelo sinal do cosseno.
  • Indique as frentes de onda (planos z= constante) perpendiculares ao eixo z e uma seta grande mostrando a direção de propagação -\hat{z}.
  • Se quiser, desenhe \mathbf{B} como setas perpendiculares a \mathbf{E} no plano xy, apontando segundo \hat{e}_B=(-\hat{x}+\hat{y})/\sqrt{2}.

Resposta

Propagação no sentido -\hat{z}.
Polarização linear na direção \hat{e}_E=(\hat{x}+\hat{y})/\sqrt{2} (ângulo 45^\circ no plano xy).
Comprimento de onda \lambda=6{,}4\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Campo elétrico: \mathbf{E}(z,t)=5\cos(\omega t + k z)\,(\hat{x}+\hat{y}) com \omega=6\pi\times10^{14}\\ \mathrm{rad/s} e k\approx9{,}82\times10^{6}\\ \mathrm{rad/m}.

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