02(5,0) - Uma onda EM harmônica plana se propaga em um pedaço de vidro e tem as componentes do campo elétrico nas direções \hat{x}, \hat{y} e \hat{z} dadas respectivamente por:
E_{x}=5 \cos \left\{6 \pi \times 10^{14}\left[\left(z / 0.64 c_{0}\right)+t\right]\right\} \quad \mathrm{V} / \mathrm{m}, \quad E_{y}=5 \cos \left\{6 \pi \times 10^{14}\left[\left(z / 0.64 c_{0}\right)+t\right]\right\}
E_{z}=0. Considere as dimensões no SI, com c_{0}=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine:
(c) A energia do fóton associado a esta onda.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que ele pede (peguei os números do enunciado).
  • Componentes do campo elétrico (unidades SI):
    • E_x=5\cos\!\left\{6\pi\times10^{14}\biggl[\dfrac{z}{0,64\,c_0}+t\biggr]\right\}\\ \mathrm{V/m}
    • E_y=5\cos\!\left\{6\pi\times10^{14}\biggl[\dfrac{z}{0,64\,c_0}+t\biggr]\right\}\\ \mathrm{V/m}
    • E_z=0
  • Constante dada: c_0=3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • O que é pedido no item (c): determinar a energia do fóton associado a esta onda.
Informações úteis extraídas do enunciado (sem resolver ainda):
  • A expressão do argumento do cosseno é 6\pi\times10^{14}\bigl[\dfrac{z}{0,64\,c_0}+t\bigr]. Isso implica que a parte que multiplica t é \;6\pi\times10^{14}\; (com unidades de rad/s), ou seja a pulsação (frequência angular) da onda pode ser lida diretamente daí.
  • A velocidade de fase na amostra é v=0,64\,c_0 (pode ser útil para interpretar a propagação, mas não é necessária para a energia do fóton).

Passo 2

Identificar a frequência da onda a partir da expressão dada (explicando passo a passo).
  • Conceito: a frequência angular \omega é o coeficiente que multiplica o tempo na fase da onda; tem unidade de rad/s. A frequência (em hertz) é f=\dfrac{\omega}{2\pi}. Vou extrair \omega da expressão.
  • Da expressão do enunciado, o termo que multiplica t é 6\pi\times10^{14}. Logo, \omega = 6\pi\times10^{14}\\ \mathrm{rad/s}.
  • Agora calculo a frequência f usando f=\dfrac{\omega}{2\pi}.Substituindo \omega, f=\dfrac{6\pi\times10^{14}}{2\pi}=3\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
  • Observação didática importante (por que isso vale mesmo dentro do vidro): quando uma onda passa de um meio para outro a frequência f (ou \omega) permanece a mesma — o que muda é o comprimento de onda e a velocidade de fase. Assim é correto usar f extraída da forma temporal da fase para calcular a energia do fóton.

Passo 3

Apresentar a relação entre energia do fóton e frequência e explicar o que é o que.
  • Conceito chave (fórmula de Planck): a energia E de um único fóton é dada por E = h\,f,onde:
    • h é a constante de Planck, h=6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},
    • f é a frequência (em Hz).
  • Unidade: h tem unidades \mathrm{J\cdot s}, multiplicando por f em \mathrm{s^{-1}} resulta em joules ( \mathrm{J}), unidade de energia.

Passo 4

Calcular numericamente a energia do fóton passo a passo.
  • Substituo h e f em E=hf: E = \left(6,62607015\times10^{-34}\right)\times\left(3\times10^{14}\right)\\ \mathrm{J}.
  • Faço a multiplicação: E = 1,987821045\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
  • Para apresentar em unidades mais familiares, converto para elétron-volts (1 eV =1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}): E_{\mathrm{(eV)}}=\dfrac{1,987821045\times10^{-19}}{1,602176634\times10^{-19}}\approx1,24\\ \mathrm{eV}.

Passo 5

Conclusão curta e lembrete prático para prova.
  • Resultado: a energia do fóton depende somente da frequência f (ou \omega) e não da amplitude do campo elétrico nem da polarização. Portanto usar f=3\times10^{14}\\ \mathrm{Hz} e E=hf é direto e rápido na prova.
  • Valor final arredondado com três dígitos significativos está listado abaixo.

Resposta

1,99\times10^{-19}\\ \mathrm{J}
1,24\\ \mathrm{eV}

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