03-2,0 Pontos) Um boiler doméstico contém inicialmente um volume de água igual a Vinicial (em litros), com temperatura Tinicial (em { }^{\circ} \mathrm{C} ).
Durante o uso diário, o boiler perde calor para o ambiente, que está a uma temperatura constante \mathrm{T}_{\mathrm{AMB}} (em { }^{\circ} \mathrm{C} ), durante um intervalo de tempo de \Delta \mathrm{t} (em horas).
O processo de resfriamento deste boiler para o ambiente externo segue a Lei de Resfriamento de Newton, expressa por:
\frac{\mathrm{dT}}{\mathrm{dt}}=-\mathrm{K}\left(\mathrm{~T}-\mathrm{T}_{\mathrm{AMB}}\right)
Em que \mathbf{K} é o coeficiente de resfriamento (em \mathbf{s}^{-1} ), determinado pela resistência térmica total (Rtotal) dado em ( { }^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{W} ), pela massa de água no boiler (m) dado em (kg) e pelo calor especifico da água ( \mathbf{C}_{\mathbf{P}} ) dado em ( \mathrm{J} / \mathrm{kg}^{\circ} \mathrm{C} ), conforme relaçāo abaixo:
\mathrm{K}=\frac{1}{\mathrm{R}_{\mathrm{TOTAL}} \mathrm{~m} \mathrm{C}_{\mathrm{P}}}
Após esse período \Delta t de perda de calor descrita pela Lei de Resfriamento de Newton, os moradores desta habitaçāo consomem um volume de água igual a Vconsumo (em litros), que é imediatamente substituído por água fria proveniente da caixa de água do local à temperatura Tresposição (em { }^{\circ} \mathbf{C} ).
Os valores de Vinicial, Tinicial, Tamb, \Delta t, V consumo, Tresposição e, o valor do coeficiente de resfriamento (\mathrm{K}) serão EXCLUSIVOS PARA CADA ALUNO e fornecidos na tabela de dados.
✓ Volume de água do boiler no início da troca térmica com o ambiente (Vinicial):
em litros
✓ Temperatura Inicial da água no boiler (Tinicial): em { }^{\circ} \mathrm{C}
✓ Temperatura do ambiente externo ao boiler (Tamb): em { }^{\circ} \mathrm{C}
✓ Tempo de troca térmica entre o boiler e o ar externo ( \Delta t ): em horas
✓ Volume de água consumido do boiler no banho pelos habitantes da casa (Vconusmo): em litros
✓ Temperatura de reposição da água consumido do boiler (Tresposição): em { }^{\circ} \mathrm{C}
✓ Constante de processo de troca térmica (K): em s-1
ALUNO
Vinicial
( L )
Tinicial
\left({ }^{\circ}\right. C )
Tamb
\left({ }^{\circ}\right. C )
\Delta t
( h )
Vconsumo
( L )
Treposição
\left({ }^{\circ}\right. C )
K
\left(\mathbf{s}^{-1}\right)
1 512 82 22 6,0 140 10 3,45 \times 10^{-6}
2 1.500 75 30 8,0 200 15 2,10 \times 10^{-6}
3 820 68 24 5,0 120 8 3,90 \times 10^{-6}
4 1.920 85 28 10,0 250 5 2,75 \times 10^{-6}
\mathbf{5} 640 63 18 4,0 110 12 3,10 \times 10^{-6}
\mathbf{6} 1100 70 35 12,0 180 20 2,00 \times 10^{-6}
\mathbf{7} 730 77 26 7,0 160 7 3,60 \times 10^{-6}
\mathbf{8} 2.000 84 40 9,0 230 4 2,25 \times 10^{-6}
\mathbf{9} 980 61 19 4,5 105 9 3,80 \times 10^{-6}
\mathbf{1 0} 1.330 72 21 11,0 145 13 2,50 \times 10^{-6}
\mathbf{1 1} 1.580 66 33 6,5 175 18 3,05 \times 10^{-6}
Qual é a temperatura final prevista para a água contida no boiler (em { }^{\circ} \mathrm{C} ), ou seja, após o tempo Δt de tempo térmica, o banho realizado pelos moradores e a consequente reposição de água fria da caixa de água para o boiler?

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar a temperatura final da água no boiler (em {}^\circ\mathrm{C}) após: (i) um intervalo de troca térmica com o ambiente de duração \Delta t, seguindo a Lei de Resfriamento de Newton; (ii) o consumo de um volume de água do boiler e (iii) a reposição desse volume por água fria da caixa.
Dados fornecidos (peguei estes valores da tabela para o ALUNO \mathbf{5}):
  • Volume inicial do boiler: V_{\text{inicial}} = 640 L.
  • Temperatura inicial da água no boiler: T_{\text{inicial}} = 63^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ambiente: T_{\text{AMB}} = 18^\circ\mathrm{C}.
  • Tempo de troca térmica: \Delta t = 4{,}0 h.
  • Volume consumido no banho: V_{\text{consumo}} = 110 L.
  • Temperatura da água de reposição: T_{\text{reposição}} = 12^\circ\mathrm{C}çã.
  • Constante de resfriamento: K = 3{,}10\times 10^{-6}\\ \mathrm{s}^{-1}.

Passo 2

Entendendo e resolvendo a Lei de Resfriamento de Newton (a parte teórica que precisa saber).
  • A equação diferencial dada é
\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} = -K\bigl(T - T_{\text{AMB}}\bigr).
Aqui:
  • T(t) é a temperatura da água no boiler no instante t (em {}^\circ\mathrm{C}).
  • K é a constante de resfriamento (em \mathrm{s}^{-1}).
  • T_{\text{AMB}} é a temperatura ambiente (em {}^\circ\mathrm{C}).
  • Essa equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem com solução clássica obtida por separação de variáveis ou usando fator integrante. Fazendo a separação:
\frac{\mathrm{d}T}{T - T_{\text{AMB}}} = -K\,\mathrm{d}t.
Integrando de t=0 (temperatura T_{\text{inicial}}) até t=\Delta t (temperatura T(\Delta t)):
\ln\!\bigl|T(\Delta t)-T_{\text{AMB}}\bigr| - \ln\!\bigl|T_{\text{inicial}}-T_{\text{AMB}}\bigr| = -K\Delta t.
Exponenciando e rearranjando obtém-se a forma prática:
T(\Delta t) = T_{\text{AMB}} + \bigl(T_{\text{inicial}} - T_{\text{AMB}}\bigr)\mathrm{e}^{-K\Delta t}.
Expliquei tudo passo a passo para você poder usar essa fórmula direto na prova.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso (conversões e cálculo da temperatura após o resfriamento).
  • Primeiro convertemos \Delta t para segundos, porque K está em \mathrm{s}^{-1}:
\Delta t = 4{,}0\\ \mathrm{h} = 4{,}0\times 3600\\ \mathrm{s} = 14400\\ \mathrm{s}.
  • Calculamos o expoente:
K\Delta t = 3{,}10\times 10^{-6}\times 14400 = 0{,}04464.
  • Calculamos a exponencial:
\mathrm{e}^{-K\Delta t} = \mathrm{e}^{-0{,}04464} \approx 0{,}95636.
  • Agora a temperatura da água imediatamente antes do banho (após o resfriamento) é
T_{\text{após resfriamento}} = T_{\text{AMB}} + \bigl(T_{\text{inicial}}-T_{\text{AMB}}\bigr)\mathrm{e}^{-K\Delta t}.ó
Substituindo os valores:
T_{\text{após resfriamento}} = 18 + (63-18)\times 0{,}95636 = 18 + 45\times 0{,}95636 \approx 18 + 43{,}0360 = 61{,}036^\circ\mathrm{C}.ó

Passo 4

Modelo de mistura após o consumo e reposição — explicação física e fórmula.
  • Pressupostos: a água no boiler está bem misturada (temperatura uniforme) no instante imediatamente antes do consumo; ao remover um volume V_{\text{consumo}} dessa água e repor com água de temperatura T_{\text{reposição}}çã, a nova temperatura é a média ponderada pelas massas (ou volumes, assumindo densidade 1\\ \mathrm{kg/L}).
  • Fórmula da mistura (energia térmica conservada):
T_{\text{final}} = \frac{\bigl(V_{\text{inicial}}-V_{\text{consumo}}\bigr)\,T_{\text{após resfriamento}} + V_{\text{consumo}}\,T_{\text{reposição}}}{V_{\text{inicial}}}.óçã
Aqui cada volume está em litros; como a densidade da água é 1\\ \mathrm{kg/L}, a proporção por volume serve diretamente.

Passo 5

Cálculo numérico final da mistura.
  • Volumes:
V_{\text{restante}} = V_{\text{inicial}} - V_{\text{consumo}} = 640 - 110 = 530\\ \mathrm{L}.
  • Produto dos volumes pelas temperaturas:
530 \times 61{,}036 \approx 32349{,}0906, \qquad 110 \times 12 = 1320.
  • Soma e divisão:
T_{\text{final}} = \frac{32349{,}0906 + 1320}{640} = \frac{33669{,}0906}{640} \approx 52{,}608^\circ\mathrm{C}.

Resposta

52,61^\circ\mathrm{C}

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