03-2,0 Pontos) Um boiler doméstico contém inicialmente um volume de água igual a Vinicial (em litros), com temperatura Tinicial (em { }^{\circ} \mathrm{C} ).
Durante o uso diário, o boiler perde calor para o ambiente, que está a uma temperatura constante \mathrm{T}_{\mathrm{AMB}} (em { }^{\circ} \mathrm{C} ), durante um intervalo de tempo de \Delta \mathrm{t} (em horas).
O processo de resfriamento deste boiler para o ambiente externo segue a Lei de Resfriamento de Newton, expressa por:
Em que \mathbf{K} é o coeficiente de resfriamento (em \mathbf{s}^{-1} ), determinado pela resistência térmica total (Rtotal) dado em ( { }^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{W} ), pela massa de água no boiler (m) dado em (kg) e pelo calor especifico da água ( \mathbf{C}_{\mathbf{P}} ) dado em ( \mathrm{J} / \mathrm{kg}^{\circ} \mathrm{C} ), conforme relaçāo abaixo:
Após esse período \Delta t de perda de calor descrita pela Lei de Resfriamento de Newton, os moradores desta habitaçāo consomem um volume de água igual a Vconsumo (em litros), que é imediatamente substituído por água fria proveniente da caixa de água do local à temperatura Tresposição (em { }^{\circ} \mathbf{C} ).
Os valores de Vinicial, Tinicial, Tamb, \Delta t, V consumo, Tresposição e, o valor do coeficiente de resfriamento (\mathrm{K}) serão EXCLUSIVOS PARA CADA ALUNO e fornecidos na tabela de dados.
✓ Volume de água do boiler no início da troca térmica com o ambiente (Vinicial):
em litros
✓ Temperatura Inicial da água no boiler (Tinicial): em { }^{\circ} \mathrm{C}
✓ Temperatura do ambiente externo ao boiler (Tamb): em { }^{\circ} \mathrm{C}
✓ Tempo de troca térmica entre o boiler e o ar externo ( \Delta t ): em horas
✓ Volume de água consumido do boiler no banho pelos habitantes da casa (Vconusmo): em litros
✓ Temperatura de reposição da água consumido do boiler (Tresposição): em { }^{\circ} \mathrm{C}
✓ Constante de processo de troca térmica (K): em s-1
ALUNO
Vinicial
( L )
Tinicial
\left({ }^{\circ}\right. C )
Tamb
\left({ }^{\circ}\right. C )
\Delta t
( h )
Vconsumo
( L )
Treposição
\left({ }^{\circ}\right. C )
K
\left(\mathbf{s}^{-1}\right)
1
512
82
22
6,0
140
10
3,45 \times 10^{-6}
2
1.500
75
30
8,0
200
15
2,10 \times 10^{-6}
3
820
68
24
5,0
120
8
3,90 \times 10^{-6}
4
1.920
85
28
10,0
250
5
2,75 \times 10^{-6}
\mathbf{5}
640
63
18
4,0
110
12
3,10 \times 10^{-6}
\mathbf{6}
1100
70
35
12,0
180
20
2,00 \times 10^{-6}
\mathbf{7}
730
77
26
7,0
160
7
3,60 \times 10^{-6}
\mathbf{8}
2.000
84
40
9,0
230
4
2,25 \times 10^{-6}
\mathbf{9}
980
61
19
4,5
105
9
3,80 \times 10^{-6}
\mathbf{1 0}
1.330
72
21
11,0
145
13
2,50 \times 10^{-6}
\mathbf{1 1}
1.580
66
33
6,5
175
18
3,05 \times 10^{-6}
Qual é a temperatura final prevista para a água contida no boiler (em { }^{\circ} \mathrm{C} ), ou seja, após o tempo Δt de tempo térmica, o banho realizado pelos moradores e a consequente reposição de água fria da caixa de água para o boiler?
Passo 1
O que o problema pede:
Determinar a temperatura final da água no boiler (em {}^\circ\mathrm{C}) após: (i) um intervalo de troca térmica com o ambiente de duração \Delta t, seguindo a Lei de Resfriamento de Newton; (ii) o consumo de um volume de água do boiler e (iii) a reposição desse volume por água fria da caixa.
Dados fornecidos (peguei estes valores da tabela para o ALUNO \mathbf{5}):
Volume inicial do boiler: V_{\text{inicial}} = 640 L.
Temperatura inicial da água no boiler: T_{\text{inicial}} = 63^\circ\mathrm{C}.
Temperatura do ambiente: T_{\text{AMB}} = 18^\circ\mathrm{C}.
Tempo de troca térmica: \Delta t = 4{,}0 h.
Volume consumido no banho: V_{\text{consumo}} = 110 L.
Temperatura da água de reposição: T_{\text{reposição}} = 12^\circ\mathrm{C}.
Constante de resfriamento: K = 3{,}10\times 10^{-6}\\ \mathrm{s}^{-1}.
Passo 2
Entendendo e resolvendo a Lei de Resfriamento de Newton (a parte teórica que precisa saber).
T(t) é a temperatura da água no boiler no instante t (em {}^\circ\mathrm{C}).
K é a constante de resfriamento (em \mathrm{s}^{-1}).
T_{\text{AMB}} é a temperatura ambiente (em {}^\circ\mathrm{C}).
Essa equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem com solução clássica obtida por separação de variáveis ou usando fator integrante. Fazendo a separação:
Modelo de mistura após o consumo e reposição — explicação física e fórmula.
Pressupostos: a água no boiler está bem misturada (temperatura uniforme) no instante imediatamente antes do consumo; ao remover um volume V_{\text{consumo}} dessa água e repor com água de temperatura T_{\text{reposição}}çã, a nova temperatura é a média ponderada pelas massas (ou volumes, assumindo densidade 1\\ \mathrm{kg/L}).