Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. Especificamente, a integral é
, onde
é a circunferência definida por
. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo para transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele basicamente conecta a integral de linha ao redor de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
que
delimita. A fórmula do Teorema de Green é:
No nosso caso, identificamos:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green, temos:
Passo 4
Para calcular essa integral dupla, fica mais fácil usar coordenadas polares, já que a região
é um círculo de raio 2. Nas coordenadas polares, temos:
-
-
- O elemento de área
Substituindo esses valores na expressão
:
Então, a integral dupla fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integrando em
:
Agora, a integral fica:
Sabemos que:
Portanto:
Resposta
A integral vale
.