02 Use o Teorema de Green para calcular ointC(x^2 y) d x+(x y^2) d y onde C é a circunferência x^2+y^2=4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. Especificamente, a integral é , onde é a circunferência definida por . Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo para transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele basicamente conecta a integral de linha ao redor de uma curva fechada ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA com uma integral dupla sobre a região que delimita. A fórmula do Teorema de Green é:
No nosso caso, identificamos:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (x y^2) = y^2
partial Ppartial y = partialpartial y (x^2 y) = x^2
Substituindo na fórmula do Teorema de Green, temos:
ointC x^2 y , dx + x y^2 , dy = integral duplaD (y^2 - x^2) , dA

Passo 4

Para calcular essa integral dupla, fica mais fácil usar coordenadas polares, já que a região y^2 - x^2 = r^2 sin^2 theta - r^2 cos^2 theta = r^2 (sin^2 theta - cos^2 theta) é um círculo de raio 2. Nas coordenadas polares, temos:
  • integral duplaD (y^2 - x^2) , dA = integral0^2pi integral0^2 r^2 (sin^2 theta - cos^2 theta) cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^2 r^3 (sin^2 theta - cos^2 theta) , dr , dtheta
  • O elemento de área
Substituindo esses valores na expressão :
Então, a integral dupla fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integrando em integral0^2 r^3 , dr = [ r^44 ]0^2 = 164 = 4 :
4 integral0^2pi (sin^2 theta - cos^2 theta) , dtheta
Agora, a integral fica:
integral0^2pi sin^2 theta , dtheta = integral0^2pi cos^2 theta , dtheta = pi
Sabemos que:
4 (pi - pi) = 4 times 0 = 0
Portanto:

Resposta

A integral vale .

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