Enuncie o critério da integral para convergència de séries.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma pergunta sobre o critério da integral para a convergência de séries. Isso faz parte da matéria de cálculo, especificamente sobre séries numéricas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries, funções contínuas e integrais.

Passo 2

Primeiro, o que é uma série? Uma série é basicamente a soma de termos de uma sequência. Por exemplo, sumn=1^infty 1n é uma série onde somamos 1 + 12 + 13 + 14 + dots.

Passo 3

Agora, o critério da integral é uma ferramenta que nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge. Ou seja, se a soma chegando ao infinito dá um número finito ou não.

Passo 4

Para aplicar esse critério, precisamos que a função que gera os termos da série seja positiva, contínua e decrescente para x >= N, onde N é algum número natural.

Passo 5

A ideia é comparar a soma da série com a área sob a curva da função correspondente. Se a integral da função de N até o infinito converge, então a série também converge. Se a integral diverge, a série também diverge.

Passo 6

Matematicamente, isso fica assim: se an = f(n), onde f(x) atende às condições (positiva, contínua, decrescente), então:
  • Se integralN^infty f(x) , dx converge, então sumn=N^infty an também converge.
  • Se integralN^infty f(x) , dx diverge, então sumn=N^infty an também diverge.

Resposta

O Critério da Integral para a convergência de séries enuncia que:
Seja $ {a_n} $ uma sequência de termos positivos, contínua e decrescente para $ n \geq N $. Então, a série $ \sum_{n=N}^{\infty} a_n $ converge se e somente se a integral $ \int_{N}^{\infty} a(x) , dx $ converge.

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