Enuncie o critério da integral para convergència de séries.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma pergunta sobre o critério da integral para a convergência de séries. Isso faz parte da matéria de cálculo, especificamente sobre séries numéricas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries, funções contínuas e integrais.
Passo 2
Primeiro, o que é uma série? Uma série é basicamente a soma de termos de uma sequência. Por exemplo,
é uma série onde somamos
.
Passo 3
Agora, o critério da integral é uma ferramenta que nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge. Ou seja, se a soma chegando ao infinito dá um número finito ou não.
Passo 4
Para aplicar esse critério, precisamos que a função que gera os termos da série seja positiva, contínua e decrescente para
, onde
é algum número natural.
Passo 5
A ideia é comparar a soma da série com a área sob a curva da função correspondente. Se a integral da função de
até o infinito converge, então a série também converge. Se a integral diverge, a série também diverge.
Passo 6
Matematicamente, isso fica assim: se
, onde
atende às condições (positiva, contínua, decrescente), então:
- Se
converge, então também converge. - Se
diverge, então também diverge.
Resposta
O Critério da Integral para a convergência de séries enuncia que:
Seja $ {a_n} $ uma sequência de termos positivos, contínua e decrescente para $ n \geq N $. Então, a série $ \sum_{n=N}^{\infty} a_n $ converge se e somente se a integral $ \int_{N}^{\infty} a(x) , dx $ converge.