01 Calcular a integral de superfície integral duplaS(x+y+z) d S onde S é a porção do plano x+2 y+4 z=4, no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde é a parte do plano que está no primeiro octante (ou seja, onde , e são positivos). Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo de integrais de superfície e entender um pouco sobre planos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o plano z = 4 - x - 2y4 = 1 - x4 - y2 . É útil reescrevê-lo resolvendo em função de e :
Isso nos permite visualizar como o plano se comporta no espaço.

Passo 3

Agora, precisamos identificar os limites de integração no primeiro octante. Vamos encontrar onde o plano intercepta os eixos:
  • Quando e :
  • Quando e :
  • Quando e :
Então, a região de integração no plano vai de a e de a .

Passo 4

Precisamos calcular o elemento de área dS = raiz(partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 + 1 , dx , dy para a integral de superfície. Para uma superfície dada por partial zpartial x = -14, partial zpartial y = -12 , temos:
dS = raiz(-14)^2 + (-12)^2 + 1 , dx , dy = raiz116 + 14 + 1 = raiz2116 = raiz214
Calculando as derivadas parciais:
Então:

Passo 5

Agora, vamos montar a integral. Substituindo x + y + z = x + y + (1 - x4 - y2) = 1 + 3x4 + y2 na expressão integral duplaS (x + y + z) , dS = raiz214 integral0^4 integral0^2 - x2 (1 + 3x4 + y2) dy , dx :
Assim, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral dupla passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a integral0^2 - x2 (1 + 3x4 + y2) dy = [ (1 + 3x4)y + y^24 ]0^2 - x2 :
(1 + 3x4)(2 - x2) + (2 - x2)^24
Substituindo os limites:
= (2 + 3x2 - x2 - 3x^28) + 4 - 2x + x^244
Simplificando:
= 2 + x - 3x^28 + 1 - x2 + x^216
= 3 + x2 - 5x^216
integral0^4 (3 + x2 - 5x^216) dx = [ 3x + x^24 - 5x^348 ]0^4
Agora, integramos em relação a 3(4) + 164 - 5 cdot 6448 = 12 + 4 - 32048 = 16 - 203 = 283 :
Substituindo :

Resposta

A integral de superfície vale , ou simplificando, .

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