Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de superfície
, onde
é a parte do plano
que está no primeiro octante (ou seja, onde
,
e
são positivos). Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo de integrais de superfície e entender um pouco sobre planos no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o plano
. É útil reescrevê-lo resolvendo
em função de
e
:
Isso nos permite visualizar como o plano se comporta no espaço.
Passo 3
Agora, precisamos identificar os limites de integração no primeiro octante. Vamos encontrar onde o plano intercepta os eixos:
- Quando
e : - Quando
e : - Quando
e :
Então, a região de integração no plano
vai de
a
e de
a
.
Passo 4
Precisamos calcular o elemento de área
para a integral de superfície. Para uma superfície dada por
, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Então:
Passo 5
Agora, vamos montar a integral. Substituindo
na expressão
:
Assim, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral dupla passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a
:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Agora, integramos em relação a
:
Substituindo
:
Resposta
A integral de superfície
vale
, ou simplificando,
.