(b) Por que o limite
? justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente precisa aqui. A questão está pedindo para calcular o limite quando
se aproxima de
para a expressão
. Vamos usar conceitos de limites de funções de duas variáveis e propriedades trigonométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão separadamente. A gente tem dois fatores multiplicando:
e
.
Passo 3
Vamos começar com o primeiro fator:
. Conforme
se aproxima de
, tanto
quanto
vão para 0. Mas o importante aqui é notar que
está sempre entre 0 e 1, porque o numerador nunca vai ser maior que o denominador.
Passo 4
Agora, olhemos para o segundo fator:
. Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja,
para qualquer
.
Passo 5
Então, juntando as duas partes, temos que a expressão inteira
está limitada entre
e
. Sabendo que
vai para 0 quando
vai para
, multiplicar isso por algo que está entre -1 e 1 também vai fazer com que todo o produto vá para 0.
Passo 6
Para formalizar, usamos o teorema do sanduíche (ou teorema do aperto). Já que
e ambos os limites laterais são 0, então o limite da expressão do meio também deve ser 0.
Resposta
O limite é 0.