(b) Por que o limite lim (x, y) (0,0)(x^2x^2+y^2) sen(x yraizx^2+y^2)=0 ? justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa aqui. A questão está pedindo para calcular o limite quando (x, y) se aproxima de (0,0) para a expressão (x^2x^2+y^2) sin(x yraizx^2+y^2). Vamos usar conceitos de limites de funções de duas variáveis e propriedades trigonométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão separadamente. A gente tem dois fatores multiplicando: x^2x^2+y^2 e sin(x yraizx^2+y^2).

Passo 3

Vamos começar com o primeiro fator: x^2x^2+y^2. Conforme (x, y) se aproxima de (0,0), tanto x^2 quanto y^2 vão para 0. Mas o importante aqui é notar que x^2x^2+y^2 está sempre entre 0 e 1, porque o numerador nunca vai ser maior que o denominador.

Passo 4

Agora, olhemos para o segundo fator: sin(x yraizx^2+y^2). Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja, -1 <= sin(z) <= 1 para qualquer z.

Passo 5

Então, juntando as duas partes, temos que a expressão inteira (x^2x^2+y^2) sin(x yraizx^2+y^2) está limitada entre -x^2x^2+y^2 e x^2x^2+y^2. Sabendo que x^2x^2+y^2 vai para 0 quando (x, y) vai para (0,0), multiplicar isso por algo que está entre -1 e 1 também vai fazer com que todo o produto vá para 0.

Passo 6

Para formalizar, usamos o teorema do sanduíche (ou teorema do aperto). Já que -x^2x^2+y^2 <= (x^2x^2+y^2) sin(x yraizx^2+y^2) <= x^2x^2+y^2 e ambos os limites laterais são 0, então o limite da expressão do meio também deve ser 0.

Resposta

O limite é 0.

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