[02] (1,0) Utilizando a definição da transformada de Laplace, obtenha a transformada F(s) da seguinte funçāo:
f(t)=10 e^2 alpha t+e^-beta t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=10e^2alpha t+e^-beta t
Usaremos a definição
F(s)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt
e a propriedade de linearidade da transformada.

Passo 2

Pela linearidade, escrevemos
F(s)=integral0^inftyl(10e^2alpha t+e^-beta tr)e^-st,dt =10integral0^inftye^2alpha te^-st,dt +integral0^inftye^-beta te^-st,dt
Ou seja,
F(s)=10integral0^inftye^-(s-2alpha)t,dt+integral0^inftye^-(s+beta)t,dt

Passo 3

Para a primeira integral usamos
integral0^inftye^-at,dt=1a se Re(a)>0
Aqui a=s-2alpha, logo
10integral0^inftye^-(s-2alpha)t,dt =10,s-2alpha,, Re(s)>2alpha

Passo 4

Na segunda integral, com a=s+beta, temos
integral0^inftye^-(s+beta)t,dt =1,s+beta,, Re(s)>-beta

Passo 5

Somando os dois resultados, obtemos
F(s)=10s-2alpha+1s+beta,
válido para Re(s)>max2alpha,,-beta.

Resposta

F(s)=10s-2alpha+1s+beta

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