Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
9y'' + 6y' + y = 0, y(0)=1,;y'(0)=0
O método é encontrar a equação característica associada e depois usar as condições iniciais.

Passo 2

A equação característica é
9r^2 + 6r + 1 = 0
O discriminante é
De<a = 6^2 - 4cdot 9 cdot 1 = 36 - 36 = 0
Logo há raiz dupla r = -tfrac62cdot9 = -tfrac13.

Passo 3

Com raiz dupla r = -tfrac13, a solução geral da equação é
y(x) = l(C1 + C2,xr)e^-x/3

Passo 4

Para determinar C1 e C2, calculamos y'(x). Derivando,
y'(x) = C2 e^-x/3 + (C1 + C2 x)l(-tfrac13r)e^-x/3 = l(C2 - tfracC1 + C2 x3r)e^-x/3
Em x=0 temos
y(0) = C1 = 1, y'(0) = C2 - tfrac13 = 0 Rightarrow C2 = tfrac13

Resposta

Substituindo C1 = 1 e C2 = tfrac13 na solução geral, obtemos
y(x) = l(1 + tfracx3r)e^-x/3

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