Encontre uma equação para a reta tangente à y=x^4 no ponto P=(1,1).

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico de y = x^4 no ponto P = (1,1). O conteúdo principal é derivação e aplicação da fórmula da reta tangente, que precisa do coeficiente angular dado pela derivada e do ponto de tangência.

Passo 2

Calculamos a derivada de y = x^4 usando a regra de potência ddxx^n = n,x^n-1. Assim,
dydx = 4x^3

Passo 3

A inclinação da reta tangente no ponto x=1 é o valor da derivada avaliada em x=1:
m = 4cdot1^3 = 4

Passo 4

A equação da reta tangente em (x0,y0) com coeficiente angular m é
y - y0 = m,(x - x0)
Substituindo x0=1, y0=1 e m=4, vem
y - 1 = 4,(x - 1) Longrightarrow y = 4x - 4 + 1 Longrightarrow y = 4x - 3

Resposta

A reta tangente é
y = 4x - 3

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