0,0200 mol de um gás ideal diatômico inicialmente num estado (A), a uma pressão de 1,00 atm e numa temperatura de 200 K , é submetida a uma expansão adiabática para chegar o estado (B) onde tem seu volume tríplicado. A seguir, outro processo reduza a pressão do gás, a volume constante, até que a temperatura original seja novamente atingida e o gás chega o novo estado ©.
Se desejamos levar o gás de volta para o estado A , a partir do estado C , qual é a energia térmica mínima e/ou o trabalho mínimo necessário?

Passo 1

Beleza, vamos lá. A questão fala de 0,0200 mol de um gás ideal diatômico que está no estado A (P₁ = 1,00 atm, T₁ = 200 K). Primeiro ele é expandido adiabaticamente até triplicar o volume (vai pro estado B), depois, a volume constante, muda a pressão até que a temperatura volte para 200 K (estado C). O que nos pedem: a partir de C, como levar de volta a A gastando o mínimo de calor (ou trabalho) possível?
Conteúdo: termodinâmica de gases ideais, primeira lei, processos reversíveis, trabalho em transformações isotermais. Vamos precisar de γ para diatômico (γ = 7/5 = 1,4), da equação de estado PV = nRT e da expressão do trabalho reversível num processo isoterma.

Passo 2

Primeiro, qual é o estado C?
– Volume em C: V_C = 3 V_A (mesma expansão que fizemos em A→B).
– Temperatura em C: T_C = 200 K (diz o enunciado que volta ao valor inicial).
Então, pela equação de estado em C:
PC = n R TCVC = n R,2003VA = PA,VA3VA = PA3
Mas o que importa mesmo pra gente é saber que, em C, T_C = T_A e V_C = 3V_A.

Passo 3

Agora, vamos de C para A. Note que T_C = T_A, mas V e P mudam. Se fizermos essa volta por uma isoterma reversível a T = 200 K, teremos o menor trabalho (e o menor calor trocado), pois processos reversíveis minimizam o trabalho necessário.
Em um processo isoterma de um gás ideal, vale
De
e o trabalho reversível feito pelo gás em comprimir de volume V_i até V_f é
Wrm gas = n R T ln!l(tfracVfVir)
Aqui queremos comprimir de V_i = V_C = 3V_A até V_f = V_A, então
Wrm gas = n R T ln!l(tfracVA3VAr) = n R T ln!l(tfrac13r) = -,n R T ln 3
O sinal negativo indica que o gás recebe trabalho (ou seja, fazemos trabalho sobre ele).
Se quisermos o trabalho mínimo que precisamos fornecer (em módulo, positivo), é
Wmin = n R T ,ln 3

Passo 4

Basta colocar valores:
n = 0,0200 mol, R = 8,314 J/(mol·K) e T = 200 K.
Wmin = 0,0200 times 8,314 times 200 times ln 3
Calculando:
8,314·0,0200 = 0,16628
0,16628·200 = 33,256
33,256·ln3 ≃ 33,256·1,0986 ≃ 36,5 J
Como ΔU = 0, o calor trocado na isoterma é Q = –W_gas = +36,5 J (isto é, o gás libera 36,5 J; nós fornecemos esse trabalho para comprimi-lo).

Resposta

Trabalhando reversivelmente numa isoterma a 200 K (de V = 3V_A a V_A), o trabalho mínimo a ser fornecido ao gás é
Wmin = n R T ln 3 approx 36,5 J,
e, como ΔU=0, o calor mínimo trocado (saindo do gás) também tem módulo 36,5 J.

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