03-(1,0pt) Seja
. Calcule
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular
, a derivada de
em relação a
.
Informações relevantes:
- A função é produto de duas funções:
e . - Não há valores numéricos adicionais; a tarefa é obter a expressão simbólica de
.
Passo 2
Estratégia (explicando as regras que vou usar, passo a passo, como se eu estivesse te ensinando):
- Regra do produto: se
, então
Isso significa que derivamos uma das partes mantendo a outra e somamos ao caso oposto.
- Regra da cadeia + regra da potência: se
com constante, então
Aqui
é a derivada do interior
. Exemplo rápido: a derivada de
é
(pois a derivada de
é
).
Vou aplicar essas regras com calma à nossa função.
Passo 3
Defino as duas partes do produto:
Agora calculo
usando regra da potência + cadeia. O interior é
com
. Então:
Posso escrever isso como
Em seguida calculo
. O interior é
com
. Aplicando potência + cadeia:
Que é
Passo 4
Agora aplico a regra do produto:
Substituindo
obtidos:
Passo 5
Agora vou simplificar e fatorar para deixar a expressão mais enxuta — isso é útil na prova e facilita verificar zeros comuns.
As duas parcelas têm fatores em comum. Vou fatorar
,
(o menor expoente entre as duas) e
(também o menor expoente):
Parto da expressão anterior:
Fatorando
fica:
Agora simplifico o colchete:
Portanto a forma fatorada e simplificada da derivada é: