03-(1,0pt) Seja f(x)=\left(x^{3}-2\right)^{2} \cdot\left(x^{2}+1\right)^{3}. Calcule f^{\prime}(x).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\left(x^{3}-2\right)^{2}\cdot\left(x^{2}+1\right)^{3}
e pede para calcular f^{\prime}(x), a derivada de f em relação a x.
Informações relevantes:
  • A função é produto de duas funções: \left(x^{3}-2\right)^{2} e \left(x^{2}+1\right)^{3}.
  • Não há valores numéricos adicionais; a tarefa é obter a expressão simbólica de f^{\prime}(x).

Passo 2

Estratégia (explicando as regras que vou usar, passo a passo, como se eu estivesse te ensinando):
  • Regra do produto: se f(x)=u(x)\,v(x), então
f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)\,v(x)+u(x)\,v^{\prime}(x).
Isso significa que derivamos uma das partes mantendo a outra e somamos ao caso oposto.
  • Regra da cadeia + regra da potência: se u(x)=\big(g(x)\big)^{n} com n constante, então
u^{\prime}(x)=n\big(g(x)\big)^{\,n-1}\cdot g^{\prime}(x).
Aqui g^{\prime}(x) é a derivada do interior g(x). Exemplo rápido: a derivada de \big(3x^{2}+1\big)^{4} é 4\big(3x^{2}+1\big)^{3}\cdot 6x (pois a derivada de 3x^{2}+1 é 6x).
Vou aplicar essas regras com calma à nossa função.

Passo 3

Defino as duas partes do produto:
u(x)=\left(x^{3}-2\right)^{2},\qquad v(x)=\left(x^{2}+1\right)^{3}.
Agora calculo u^{\prime}(x) usando regra da potência + cadeia. O interior é g(x)=x^{3}-2 com g^{\prime}(x)=3x^{2}. Então:
u^{\prime}(x)=2\big(x^{3}-2\big)^{1}\cdot 3x^{2}.
Posso escrever isso como
u^{\prime}(x)=6x^{2}\big(x^{3}-2\big).
Em seguida calculo v^{\prime}(x). O interior é h(x)=x^{2}+1 com h^{\prime}(x)=2x. Aplicando potência + cadeia:
v^{\prime}(x)=3\big(x^{2}+1\big)^{2}\cdot 2x.
Que é
v^{\prime}(x)=6x\big(x^{2}+1\big)^{2}.

Passo 4

Agora aplico a regra do produto:
f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)\,v(x)+u(x)\,v^{\prime}(x).
Substituindo u,u^{\prime},v,v^{\prime} obtidos:
f^{\prime}(x)=6x^{2}\big(x^{3}-2\big)\cdot\big(x^{2}+1\big)^{3} + \big(x^{3}-2\big)^{2}\cdot 6x\big(x^{2}+1\big)^{2}.

Passo 5

Agora vou simplificar e fatorar para deixar a expressão mais enxuta — isso é útil na prova e facilita verificar zeros comuns.
As duas parcelas têm fatores em comum. Vou fatorar 6x, \big(x^{3}-2\big) (o menor expoente entre as duas) e \big(x^{2}+1\big)^{2} (também o menor expoente):
Parto da expressão anterior:
f^{\prime}(x)=6x^{2}\big(x^{3}-2\big)\big(x^{2}+1\big)^{3} + 6x\big(x^{3}-2\big)^{2}\big(x^{2}+1\big)^{2}.
Fatorando 6x\big(x^{3}-2\big)\big(x^{2}+1\big)^{2} fica:
f^{\prime}(x)=6x\big(x^{3}-2\big)\big(x^{2}+1\big)^{2}\Big[x\big(x^{2}+1\big)+\big(x^{3}-2\big)\Big].
Agora simplifico o colchete:
x\big(x^{2}+1\big)+\big(x^{3}-2\big)=x^{3}+x+x^{3}-2=2x^{3}+x-2.
Portanto a forma fatorada e simplificada da derivada é:
f^{\prime}(x)=6x\big(x^{3}-2\big)\big(x^{2}+1\big)^{2}\big(2x^{3}+x-2\big).

Resposta

6x\big(x^{3}-2\big)\big(x^{2}+1\big)^{2}\big(2x^{3}+x-2\big)

Exercícios relacionados