02-(1,0pt) Calcule f^{\prime}(t), sendo f(t)=\frac{\sqrt{t}-1}{\sqrt{t}+1}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular f'(t), onde
f(t)=\frac{\sqrt{t}-1}{\sqrt{t}+1}.
Dados importantes que temos: a função envolve \sqrt{t}, que está definida para t\ge 0, e o denominador \sqrt{t}+1 nunca é zero para t\ge0. A derivada que vamos obter será válida em pontos onde a função é diferenciável (isto é, em t>0; discutiremos t=0 depois).

Passo 2

Para simplificar a diferenciação, faço a substituição
u=\sqrt{t}=t^{1/2},
então a função fica como uma composição f(t)=g(u(t)), com
g(u)=\frac{u-1}{u+1}.
Essa escolha é útil porque transformar em função de u torna g uma função racional simples cuja derivada é fácil de calcular, e depois aplicamos a regra da cadeia.

Passo 3

Calculo a derivada de u em relação a t. Como u=t^{1/2}, pela regra de potência:
\frac{du}{dt}=\frac{1}{2}t^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{t}}.
Aqui expliquei: a regra de potência diz que se u=t^{a} então du/dt=a\,t^{a-1}. Usei a=\tfrac12.

Passo 4

Agora calculo g'(u). Posso usar a regra do quociente: se g(u)=\dfrac{A(u)}{B(u)} então
g'(u)=\frac{A'(u)B(u)-A(u)B'(u)}{[B(u)]^2}.
No nosso caso A(u)=u-1 e B(u)=u+1. Então A'(u)=1 e B'(u)=1. Aplicando:
g'(u)=\frac{1\cdot(u+1)-(u-1)\cdot1}{(u+1)^2}=\frac{u+1-u+1}{(u+1)^2}=\frac{2}{(u+1)^2}.

Passo 5

Uso a regra da cadeia para obter f'(t):
f'(t)=g'(u)\cdot\frac{du}{dt}.
Substituindo as derivadas que achamos:
f'(t)=\frac{2}{(u+1)^2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{t}}=\frac{1}{(u+1)^2\sqrt{t}}.
Agora volto à variável t usando u=\sqrt{t}:
f'(t)=\frac{1}{\sqrt{t}\,(\sqrt{t}+1)^2}.

Passo 6

Observações finais sobre domínio: a expressão encontrada para f'(t) exige \sqrt{t} no denominador, portanto a derivada está bem definida para t>0. Em t=0 a derivada não existe (o limite da diferença quociente tende a infinito), então não consideramos t=0 como ponto de diferenciabilidade.

Resposta

f'(t)=\frac{1}{\sqrt{t}\,(\sqrt{t}+1)^2}\quad\text{para }t>0

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