02-(1,0pt) Calcule
, sendo
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
, onde
Dados importantes que temos: a função envolve
, que está definida para
, e o denominador
nunca é zero para
. A derivada que vamos obter será válida em pontos onde a função é diferenciável (isto é, em
; discutiremos
depois).
Passo 2
Para simplificar a diferenciação, faço a substituição
então a função fica como uma composição
, com
Essa escolha é útil porque transformar em função de
torna
uma função racional simples cuja derivada é fácil de calcular, e depois aplicamos a regra da cadeia.
Passo 3
Calculo a derivada de
em relação a
. Como
, pela regra de potência:
Aqui expliquei: a regra de potência diz que se
então
. Usei
.
Passo 4
Agora calculo
. Posso usar a regra do quociente: se
então
No nosso caso
e
. Então
e
. Aplicando:
Passo 5
Uso a regra da cadeia para obter
:
Substituindo as derivadas que achamos:
Agora volto à variável
usando
:
Passo 6
Observações finais sobre domínio: a expressão encontrada para
exige
no denominador, portanto a derivada está bem definida para
. Em
a derivada não existe (o limite da diferença quociente tende a infinito), então não consideramos
como ponto de diferenciabilidade.