01-(1,0pt) Seja
. Calcule
e depois
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede duas coisas:
- calcular
(a derivada de em função de ); - calcular
(o valor da derivada em ).
Passo 2
Escolha do método: como
é o produto de duas funções (cada uma um polinômio), o método natural e direto é usar a regra do produto. Outra alternativa é multiplicar os fatores para obter um polinômio e depois derivar termo a termo; farei a derivação usando a regra do produto e comentarei a verificação por expansão.
Passo 3
Relembrando as regras que vamos usar:
- Regra do produto: se
e são funções diferenciáveis, então
Aqui
significa a derivada de
em relação a
.
- Regra de potência (para polinômios): para todo número inteiro
,
Exemplo rápido:
.
Passo 4
Identificar os fatores e calcular suas derivadas:
Aplicando a regra de potência termo a termo:
Passo 5
Aplicar a regra do produto:
Substituindo
:
Agora expandir e simplificar cada produto (fazendo passo a passo):
Primeiro produto:
Primeiro produto:
Segundo produto:
Somando os dois resultados:
Podemos também fatorar um fator comum
:
mas a forma polinomial completa
é equivalente.
Observação rápida de verificação: expandindo
antes de derivar dá
e derivando termo a termo
o que confirma o resultado acima.
Passo 6
Calcular
: substituir
em
:
Fazendo as contas:
Portanto
.