01-(1,0pt) Seja f(x)=\left(2 x^{3}-4 x^{2}\right)\left(3 x^{3}+x^{2}\right). Calcule f^{\prime}(x) e depois f^{\prime}(1).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\bigl(2x^{3}-4x^{2}\bigr)\bigl(3x^{3}+x^{2}\bigr)
e pede duas coisas:
  • calcular f^{\prime}(x) (a derivada de f em função de x);
  • calcular f^{\prime}(1) (o valor da derivada em x=1).

Passo 2

Escolha do método: como f é o produto de duas funções (cada uma um polinômio), o método natural e direto é usar a regra do produto. Outra alternativa é multiplicar os fatores para obter um polinômio e depois derivar termo a termo; farei a derivação usando a regra do produto e comentarei a verificação por expansão.

Passo 3

Relembrando as regras que vamos usar:
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
(u\cdot v)^\prime = u^\prime v + u v^\prime.
Aqui u^\prime significa a derivada de u em relação a x.
  • Regra de potência (para polinômios): para todo número inteiro n\ge 0,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
Exemplo rápido: \dfrac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}.

Passo 4

Identificar os fatores e calcular suas derivadas:
u(x)=2x^{3}-4x^{2},\qquad v(x)=3x^{3}+x^{2}.
Aplicando a regra de potência termo a termo:
u^\prime(x)=\frac{d}{dx}(2x^{3})-\frac{d}{dx}(4x^{2})=2\cdot 3x^{2}-4\cdot 2x=6x^{2}-8x,
v^\prime(x)=\frac{d}{dx}(3x^{3})+\frac{d}{dx}(x^{2})=3\cdot 3x^{2}+2x=9x^{2}+2x.

Passo 5

Aplicar a regra do produto:
f^\prime(x)=u^\prime(x)\,v(x)+u(x)\,v^\prime(x).
Substituindo u,u^\prime,v,v^\prime:
f^\prime(x)=(6x^{2}-8x)(3x^{3}+x^{2})+(2x^{3}-4x^{2})(9x^{2}+2x).
Agora expandir e simplificar cada produto (fazendo passo a passo):
Primeiro produto:
(6x^{2}-8x)(3x^{3}+x^{2})=6x^{2}\cdot 3x^{3}+6x^{2}\cdot x^{2}-8x\cdot 3x^{3}-8x\cdot x^{2}
=18x^{5}+6x^{4}-24x^{4}-8x^{3}=18x^{5}-18x^{4}-8x^{3}.
Segundo produto:
(2x^{3}-4x^{2})(9x^{2}+2x)=2x^{3}\cdot 9x^{2}+2x^{3}\cdot 2x-4x^{2}\cdot 9x^{2}-4x^{2}\cdot 2x
=18x^{5}+4x^{4}-36x^{4}-8x^{3}=18x^{5}-32x^{4}-8x^{3}.
Somando os dois resultados:
f^\prime(x)=(18x^{5}-18x^{4}-8x^{3})+(18x^{5}-32x^{4}-8x^{3})
=36x^{5}-50x^{4}-16x^{3}.
Podemos também fatorar um fator comum 2x^{3}:
f^\prime(x)=2x^{3}\bigl(18x^{2}-25x-8\bigr),
mas a forma polinomial completa 36x^{5}-50x^{4}-16x^{3} é equivalente.
Observação rápida de verificação: expandindo f antes de derivar dá
f(x)= (2x^{3}-4x^{2})(3x^{3}+x^{2})=6x^{6}-10x^{5}-4x^{4},
e derivando termo a termo
f^\prime(x)=36x^{5}-50x^{4}-16x^{3},
o que confirma o resultado acima.

Passo 6

Calcular f^\prime(1): substituir x=1 em f^\prime(x):
f^\prime(1)=36\cdot 1^{5}-50\cdot 1^{4}-16\cdot 1^{3}=36-50-16.
Fazendo as contas:
36-50=-14,\qquad -14-16=-30.
Portanto f^\prime(1)=-30.

Resposta

f^\prime(x)=36x^{5}-50x^{4}-16x^{3}
f^\prime(1)=-30

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