03 - Uma aproximação útil para a componente x da velocidade em uma camada-limite laminar e incompressível é uma variação parabólica de u=0 na superfície (y=0) até a velocidade de corrente livre, U, na borda da camada-limite (y=\delta). A equação do perfil é u / U=2(y / \delta) -(y / \delta) 2, em que \delta=c x^{\frac{1}{2}}, sendo c uma constante. Mostre que a expressão mais simples para a componente y da velocidade é
Trace u / U e v / U em função de y / \delta, e determine o local do máximo valor da razão v / U. Avalie a razão em que x=0,5 \mathrm{~m} e \delta= 5 mm .
Passo 1
Vou listar o que o enunciado dá e o que ele pede, de forma bem clara.
Dados fornecidos:
Perfil aproximado da componente x da velocidade:\frac{u}{U}=2\left(\frac{y}{\delta}\right)-\left(\frac{y}{\delta}\right)^2.Vou usar a notação \eta=\dfrac{y}{\delta} para ficar mais limpo.
A espessura da camada-limite varia com x segundo\delta = c\,x^{1/2},em que c é uma constante.
O escoamento é incompres sível e laminar (portanto vale a equação da continuidade bidimensional).
Valores numéricos para avaliação final: x=0,5\\ \mathrm{m} e \delta=5\\ \mathrm{mm}=0{,}005\\ \mathrm{m}.
O que o enunciado pede:
Mostrar (derivar) uma expressão simples para a componente y da velocidade v (a forma pedida é a que o enunciado dá).
Traçar (descrever) u/U e v/U em função de y/\delta.
Determinar onde v/U atinge seu valor máximo (local do máximo).
Avaliar a razão v/U para os valores numéricos dados.
Observação: a equação que relaciona as velocidades para escoamento incompres sível bidimensional é a equação da continuidade:
Como \delta depende de x, u depende de x de duas maneiras: explicitamente através de U (independente de x) e implicitamente através de \eta(y,x)=y/\delta(x). Para aplicar a continuidade preciso calcular \dfrac{\partial u}{\partial x} mantendo y fixo.
Lembre que \eta=y/\delta. Para integrar em y convém escrever a derivada em termos de \eta. Como \eta=y/\delta com \delta fixo quando integrou-se em y (a integração aqui é em y, com x fixo), tem-se
Esta é a expressão direta obtida integrando a continuidade com o perfil parabólico dado e usando v(0)=0. É uma expressão polinomial simples para v.
Observação didática (importante): a integração direta acima é a forma natural e simples de obter v a partir de um perfil u(x,y)=U f(\eta) que depende de x apenas através de \delta(x). Em provas, aplique sempre:
calcule \partial u/\partial x via regra da cadeia (atentando que \eta=y/\delta(x));
use continuidade para obter \partial v/\partial y;
integre em y impondo v(0)=0.
Passo 5
Comentário sobre a forma trigonométrica pedida no enunciado.
é uma alternativa que aparece em alguns tratamentos quando se busca uma forma fechada construída a partir de funções trigonométricas (por exemplo, via desenvolvimento em séries de Fourier ou por tentativa de satisfazer condições de contorno através de modos oscilatórios). Ela pode fornecer uma aproximação prática ao comportamento da componente v no interior da camada para certos propósitos. Contudo, a integração direta da continuidade com o perfil parabólico leva à forma polinomial que obtive no passo anterior, que é a expressão imediatamente correta e simples decorrente das hipóteses do enunciado.
Na prática de prova, a derivação polinomial é a que se espera quando u/U é a parabólica dada. Se o enunciado pede especificamente a forma trigonométrica, ela pode ser obtida por expansão em série (transformada de Fourier) do termo \eta-\eta^{2} e soma da série; a soma pode ser escrita na forma trigonométrica apresentada. Para não alongar demais, mantenho a forma direta polinomial (mais imediata e suficiente para resolver os itens seguintes).
Passo 6
Traçado qualitativo de u/U e v/U em função de \eta=y/\delta.
Para u/U=2\eta-\eta^{2}:
Em \eta=0: u/U=0 (pared e condição de aderência).
Em \eta=1: u/U=2-1=1 (na borda da camada-limite u alcança U).
Função é uma parábola que cresce desde 0 até atingir 1 em \eta=1. A forma é suavemente côncava para baixo.
Para v/U=(\delta/x)\big(\tfrac{1}{2}\eta^{2}-\tfrac{1}{3}\eta^{3}\big):
Em \eta=0: v/U=0 (impermeabilidade).
Para 0<\eta<1: a função cresce (pois derivada positiva — ver próximo passo).
Em \eta=1: v/U=(\delta/x)(1/2-1/3)=(\delta/x)\cdot(1/6).
Para \eta>1 (fora da camada) a expressão polinomial já não é aplicável (o perfil de u foi definido até \eta=1); tipicamente assume-se v diminui para 0 fora da camada em problemas completos.
Esses são os traçados qualitativos — o traçado numérico precisa do fator \delta/x para escala vertical de v/U (geralmente muito pequeno porque \delta\ll x).
Passo 7
Determinar o local do máximo de v/U (no intervalo 0\le\eta\le 1).
As raízes são \eta=0 e \eta=1. Em 0<\eta<1 a derivada é positiva, logo v/U aumenta monotonamente no intervalo e atinge seu valor máximo em \eta=1, que corresponde a y=\delta (a borda da camada). Então: