Exercício 6.12. No laboratório de uma indústria pretende-se testar um novo tipo de aletas, na forma de prisma reto, de seção transversal triangular (eqüilátera) com 1 cm de lado. Essas aletas tem altura de 5 cm e serão colocadas, durante o teste, sobre placas de 10 cm x 10 \mathrm{~cm}, submetidas a uma temperatura de 150^{\circ} \mathrm{C} na base e expostas ao ar a 40^{\circ} \mathrm{C}. Por razões técnicas, no máximo 30 \% da área das placas poderá ser aletada. Sabendo que a condutividade térmica do material do aleta é 130 \mathrm{kcal} / \mathrm{hm}^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente de película do ar é 5 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C}, pede-se o fluxo de calor pela placa aletada.

Passo 1

Vamos identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Placa: 10\\ \text{cm}\times10\\ \text{cm}.
  • Temperaturas: base da placa (e da base das aletas) T_b=150^\circ\text{C} e ar T_\infty=40^\circ\text{C}.
  • Aletas: prismas retos, seção transversal triangular equilátera com lado a=1\\ \text{cm} e altura (comprimento da aleta) L=5\\ \text{cm}.
  • Porcentagem máxima da área da placa que pode ser aletada: 30\%.
  • Condutividade térmica do material da aleta: k=130\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C}).
  • Coeficiente de película (convecção): h=5\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C}).
O que se pede: o fluxo de calor total pela placa aletada (ou seja, a taxa total de calor dissipada da placa para o ar, considerando as aletas e a área descoberta).

Passo 2

Conversão de unidades e áreas básicas (pegando os dados do enunciado e passando para SI prático em metros):
  • a=1\\ \text{cm}=0{,}01\\ \text{m}.
  • L=5\\ \text{cm}=0{,}05\\ \text{m}.
  • Área da placa:
A_{\text{placa}} = 0{,}10\\ \text{m}\times0{,}10\\ \text{m} = 0{,}01\\ \text{m}^2.
  • Máxima área que pode ser ocupada por bases das aletas:
A_{\text{aletada,max}} = 0{,}30\cdot A_{\text{placa}} = 0{,}30\cdot0{,}01 = 0{,}003\\ \text{m}^2.
  • Diferença de temperatura:
\Delta T = T_b - T_\infty = 150^\circ\text{C}-40^\circ\text{C}=110^\circ\text{C}.

Passo 3

Geometria de uma aleta triangular e área de contato com a placa (assunção necessária e justificativa)
  • A seção transversal da aleta é um triângulo equilátero de lado a. Para aplicar a teoria de aletas prismáticas precisamos do perímetro molhado P (perímetro exposto ao fluido) e da área da seção transversal A_c (área perpendicular ao eixo da aleta).
  • Fórmulas para triângulo equilátero de lado a:
A_c = \frac{\sqrt{3}}{4}\,a^2,\qquad P = 3a.
  • Calculando (pegando a=0{,}01\\ \text{m}):
A_c = \frac{\sqrt{3}}{4}(0{,}01)^2 = 4{,}330127\times10^{-5}\\ \text{m}^2,
P = 3\cdot0{,}01 = 0{,}03\\ \text{m}.
Assunção sobre como as aletas estão montadas na placa (necessária para contar quantas aletas cabem dentro dos 30\%):
  • Vamos assumir que cada aleta está apoiada sobre a placa por uma face lateral reta de comprimento a (lado da base do triângulo) e com comprimento da aleta L. Assim a área de contacto (pegada) de cada aleta na placa é
A_{\text{base, por aleta}} = a\cdot L = 0{,}01\cdot0{,}05 = 5{,}0\times10^{-4}\\ \text{m}^2.
(essa é uma escolha física plausível: aletas prismáticas coladas por uma face sobre a placa; se a montagem fosse diferente o número de aletas mudaria, mas como o enunciado não especifica, adotamos esta montagem.)
Número máximo de aletas que a placa pode suportar:
N = \frac{A_{\text{aletada,max}}}{A_{\text{base, por aleta}}} = \frac{0{,}003}{5{,}0\times10^{-4}} = 6.
Logo podemos colocar N=6 aletas (a conta deu inteiro).

Passo 4

Modelo físico e equação da aleta — conceito passo a passo (aula curta)
  • Para uma aleta prismática de seção constante submetida à convecção em sua superfície lateral, a dedução do balanço de energia leva à equação diferencial (para a variação de temperatura \theta(x)=T(x)-T_\infty ao longo da aleta, com x medido a partir da base):
\frac{d^2\theta}{dx^2} - m^2\theta = 0,
onde
m = \sqrt{\frac{hP}{kA_c}}.
  • A solução dessa ODE, com condição na base \theta(0)=T_b-T_\infty=\Delta T e condição no topo que contempla convecção na ponta, conduz à expressão geral para a taxa de calor retirada por uma aleta:
Q_{\text{aleta}} = \sqrt{hPkA_c}\,\Delta T\;\frac{\operatorname{sinh}(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{cosh}(mL)}{\operatorname{cosh}(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{sinh}(mL)}.
  • Comentário didático: a quantidade \sqrt{hPkA_c} reúne propriedades da aleta e do meio; o termo fracionário (com senh/cosh) trata do efeito do comprimento finito e da transferência de calor na ponta. Em muitos problemas usa-se a aproximação de ponta adiabática (que substitui o quociente acima por \operatorname{tanh}(mL)), válida quando o efeito convectivo na ponta é pequeno; aqui vamos usar a fórmula com ponta convectiva (mais precisa) porque os parâmetros permitem calcular facilmente o fator corretor.

Passo 5

Cálculo do parâmetro m e das funções hiperbólicas
  • Primeiro calculemos m:
m = \sqrt{\frac{hP}{kA_c}}.
Substituindo os valores (todos em unidades consistentes):
hP = 5\cdot0{,}03 = 0{,}15, \qquad kA_c = 130\cdot4{,}330127\times10^{-5} = 0{,}005629165.
\Rightarrow m = \sqrt{\frac{0{,}15}{0{,}005629165}} \approx 5{,}1608\\ \text{m}^{-1}.
  • Produto mL:
mL = 5{,}1608\cdot0{,}05 = 0{,}25804.
  • Valores úteis (aproximações):
\operatorname{sinh}(mL)\approx0{,}26090,\qquad \operatorname{cosh}(mL)\approx1{,}03346.
  • Também calculamos o parâmetro \dfrac{h}{mk} que aparece na fórmula do termo da ponta:
\frac{h}{mk}=\frac{5}{(5{,}1608)(130)}\approx0{,}0074627.

Passo 6

Cálculo do fluxo por aleta Q_{\text{aleta}}
  • Reescrevendo a fórmula usada:
Q_{\text{aleta}} = \sqrt{hPkA_c}\,\Delta T\; \frac{\operatorname{sinh}(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{cosh}(mL)}{\operatorname{cosh}(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{sinh}(mL)}.
  • Primeiro, a constante \sqrt{hPkA_c}:
\sqrt{hPkA_c}=\sqrt{(0{,}15)\cdot(0{,}005629165)}=\sqrt{0{,}0008443748}\approx0{,}0290558.
  • O fator fracionário:
\frac{\operatorname{sinh}(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{cosh}(mL)}{\operatorname{cosh}(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{sinh}(mL)} \approx\frac{0{,}26090 + 0{,}0074627\cdot1{,}03346}{1{,}03346 + 0{,}0074627\cdot0{,}26090} \approx\frac{0{,}26861}{1{,}03540}\approx0{,}25935.
  • Agora Q_{\text{aleta}}:
Q_{\text{aleta}} \approx 0{,}0290558\cdot110\cdot0{,}25935 \approx0{,}8290\\ \mathrm{kcal/h}.
Portanto cada aleta fornece cerca de 0{,}8290\\ \mathrm{kcal/h}.

Passo 7

Fluxo da placa nas áreas não aletadas (transferência direta por convecção)
  • Área ocupada pelas N=6 aletas:
A_{\text{ocupada}} = N\cdot A_{\text{base, por aleta}} = 6\cdot5{,}0\times10^{-4}=0{,}003\\ \text{m}^2
(isto coincide com o máximo permitido de 30\%).
  • Área descoberta (sem aletas) que troca calor diretamente pela placa:
A_{\text{descoberta}} = A_{\text{placa}} - A_{\text{ocupada}} = 0{,}01 - 0{,}003 = 0{,}007\\ \text{m}^2.
  • Fluxo por convecção nessa área descoberta:
Q_{\text{descoberta}} = h\,A_{\text{descoberta}}\,\Delta T = 5\cdot0{,}007\cdot110 = 3{,}85\\ \mathrm{kcal/h}.

Passo 8

Fluxo total da placa aletada
  • Soma do calor fornecido por todas as aletas mais o calor pela área descoberta:
Q_{\text{total}} = N\cdot Q_{\text{aleta}} + Q_{\text{descoberta}} = 6\cdot0{,}8290 + 3{,}85.
Q_{\text{total}} \approx 4{,}974 + 3{,}85 = 8{,}824\\ \mathrm{kcal/h}.
Interpretação rápida e encorajamento: o resultado significa que, com 6 aletas (ocupando 30% da placa) e as propriedades dadas, a placa dissipa cerca de 8{,}82\\ \mathrm{kcal/h}. Se alguma hipótese mudar (por exemplo, se as aletas fossem montadas de outra forma sobre a placa), o número de aletas e o total mudariam — por isso deixei explícita a suposição de montagem da aleta pela face lateral.

Resposta

Q_{\text{total}} \approx 8{,}82\\ \mathrm{kcal/h}

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