Exercício 6.12. No laboratório de uma indústria pretende-se testar um novo tipo de aletas, na forma de prisma reto, de seção transversal triangular (eqüilátera) com 1 cm de lado. Essas aletas tem altura de 5 cm e serão colocadas, durante o teste, sobre placas de 10 cm
, submetidas a uma temperatura de
na base e expostas ao ar a
. Por razões técnicas, no máximo
da área das placas poderá ser aletada. Sabendo que a condutividade térmica do material do aleta é
e o coeficiente de película do ar é
, pede-se o fluxo de calor pela placa aletada.
Passo 1
Vamos identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Placa:
. - Temperaturas: base da placa (e da base das aletas)
e ar . - Aletas: prismas retos, seção transversal triangular equilátera com lado
e altura (comprimento da aleta) . - Porcentagem máxima da área da placa que pode ser aletada:
. - Condutividade térmica do material da aleta:
. - Coeficiente de película (convecção):
.
O que se pede: o fluxo de calor total pela placa aletada (ou seja, a taxa total de calor dissipada da placa para o ar, considerando as aletas e a área descoberta).
Passo 2
Conversão de unidades e áreas básicas (pegando os dados do enunciado e passando para SI prático em metros):
-
. -
. - Área da placa:
- Máxima área que pode ser ocupada por bases das aletas:
- Diferença de temperatura:
Passo 3
Geometria de uma aleta triangular e área de contato com a placa (assunção necessária e justificativa)
- A seção transversal da aleta é um triângulo equilátero de lado
. Para aplicar a teoria de aletas prismáticas precisamos do perímetro molhado (perímetro exposto ao fluido) e da área da seção transversal (área perpendicular ao eixo da aleta). - Fórmulas para triângulo equilátero de lado
:
- Calculando (pegando
):
Assunção sobre como as aletas estão montadas na placa (necessária para contar quantas aletas cabem dentro dos
):
- Vamos assumir que cada aleta está apoiada sobre a placa por uma face lateral reta de comprimento
(lado da base do triângulo) e com comprimento da aleta . Assim a área de contacto (pegada) de cada aleta na placa é
(essa é uma escolha física plausível: aletas prismáticas coladas por uma face sobre a placa; se a montagem fosse diferente o número de aletas mudaria, mas como o enunciado não especifica, adotamos esta montagem.)
Número máximo de aletas que a placa pode suportar:
Logo podemos colocar
aletas (a conta deu inteiro).
Passo 4
Modelo físico e equação da aleta — conceito passo a passo (aula curta)
- Para uma aleta prismática de seção constante submetida à convecção em sua superfície lateral, a dedução do balanço de energia leva à equação diferencial (para a variação de temperatura
ao longo da aleta, com medido a partir da base):
onde
- A solução dessa ODE, com condição na base
e condição no topo que contempla convecção na ponta, conduz à expressão geral para a taxa de calor retirada por uma aleta:
- Comentário didático: a quantidade
reúne propriedades da aleta e do meio; o termo fracionário (com senh/cosh) trata do efeito do comprimento finito e da transferência de calor na ponta. Em muitos problemas usa-se a aproximação de ponta adiabática (que substitui o quociente acima por ), válida quando o efeito convectivo na ponta é pequeno; aqui vamos usar a fórmula com ponta convectiva (mais precisa) porque os parâmetros permitem calcular facilmente o fator corretor.
Passo 5
Cálculo do parâmetro
e das funções hiperbólicas
- Primeiro calculemos
:
Substituindo os valores (todos em unidades consistentes):
- Produto
:
- Valores úteis (aproximações):
- Também calculamos o parâmetro
que aparece na fórmula do termo da ponta:
Passo 6
Cálculo do fluxo por aleta
- Reescrevendo a fórmula usada:
- Primeiro, a constante
:
- O fator fracionário:
- Agora
:
Portanto cada aleta fornece cerca de
.
Passo 7
Fluxo da placa nas áreas não aletadas (transferência direta por convecção)
- Área ocupada pelas
aletas:
(isto coincide com o máximo permitido de
).
- Área descoberta (sem aletas) que troca calor diretamente pela placa:
- Fluxo por convecção nessa área descoberta:
Passo 8
Fluxo total da placa aletada
- Soma do calor fornecido por todas as aletas mais o calor pela área descoberta:
Interpretação rápida e encorajamento: o resultado significa que, com 6 aletas (ocupando 30% da placa) e as propriedades dadas, a placa dissipa cerca de
. Se alguma hipótese mudar (por exemplo, se as aletas fossem montadas de outra forma sobre a placa), o número de aletas e o total mudariam — por isso deixei explícita a suposição de montagem da aleta pela face lateral.