02 - Para um escoamento no plano
, a componente x da velocidade é dada por
. Encontre uma possível componente
para escoamento em regime permanente e incompressível. Ela também é válida para escoamento incompressível em regime não permanente? Por quê? Quantas são as possíveis componentes
?
Passo 1
O enunciado dá a componente
da velocidade num escoamento no plano
:
Pede:
- Encontrar uma possível componente
da velocidade (ou seja, achar ) para escoamento incompressível em regime permanente. - Dizer se essa mesma expressão é válida para escoamento incompressível em regime não permanente e explicar por quê.
- Dizer quantas soluções possíveis existem para a componente
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O escoamento é bidimensional (apenas
e em ). - Para escoamento incompressível vale a equação da continuidade bidimensional:
- Não foram dadas condições de contorno ou valores em fronteira, logo espera-se uma família de soluções (constante de integração funcional).
Passo 2
Vamos usar a equação da continuidade e calcular
. Esta é a ideia central: incompressibilidade significa que a soma das taxas de variação das componentes de velocidade nas direções correspondentes deve ser zero — geometricamente, o fluido não “cria” nem “destrói” volume localmente.
Calculemos
para a função dada:
Diferenciando em relação a
(tratando
como constante):
Passo 3
A equação da continuidade impõe
Agora integramos essa expressão em relação a
para obter
. Ao integrar uma derivada parcial
em
, a “constante” de integração pode depender de
(porque estamos integrando só em
).
Integração:
onde
é uma função arbitrária de
(a constante de integração, que pode variar com
).
Expliquei por que apareceu
: quando se integra
em relação a
, o termo de integração pode depender de
porque a derivada parcial em
não traz informação sobre variações puramente em
.
Passo 4
Verificação direta (para nos deixar tranquilos): calcule
a partir da solução e veja se a continuidade é satisfeita.
Somando com
obtemos
ou seja, a continuidade é satisfeita. Portanto qualquer função
dá uma componente
compatível com incompressibilidade (no caso estacionário).
Passo 5
Agora sobre a validade no regime não permanente (isto é, escoamento dependente do tempo). A equação da continuidade para escoamento incompressível e de densidade constante continua sendo, no plano,
em cada instante de tempo
. Se a componente
fornecida não depende de
(como no enunciado), a relação espacial entre
e
é a mesma em todo instante:
Ao integrar em
podemos obter agora
onde
é uma função arbitrária de
e
. Ou seja:
- A solução estacionária
é um caso particular com (independente de ), portanto ela também é válida para um escoamento não permanente se aceitarmos que a componente não depende do tempo. - Porém, no caso não permanente a função de integração pode depender de
, dando mais liberdade: .
Resumo: a forma básica
é obrigatória (vem da integração), mas o termo adicional pode ser
no caso permanente e
no caso não permanente.
Passo 6
Quantas são as possíveis componentes
? Como apareceu uma função arbitrária
(ou
), há infinitas soluções: a família de soluções é parametrizada por uma função arbitrária de uma variável. Em termos práticos:
- Para regime permanente: todas as funções da forma
com
qualquer função (suficientemente suave) de
.
- Para regime não permanente: todas as funções da forma
com
qualquer função de
e
.
Observação prática: condições de contorno (por exemplo velocidade prescrita em uma fronteira) determinariam
ou
e assim fixariam uma única solução entre as infinitas possíveis.
Resposta
Sim. É válida como caso particular no regime não permanente; no caso geral não permanente a solução mais geral é
, permitindo dependência temporal.
Infinitas — há uma família de soluções parametrizada por uma função arbitrária (
no caso permanente,
no caso não permanente).