02 - Para um escoamento no plano x y, a componente x da velocidade é dada por u=3 x^{2} y-y^{3}. Encontre uma possível componente y para escoamento em regime permanente e incompressível. Ela também é válida para escoamento incompressível em regime não permanente? Por quê? Quantas são as possíveis componentes y ?

Passo 1

O enunciado dá a componente x da velocidade num escoamento no plano x y:
u(x,y)=3x^{2}y-y^{3}.
Pede:
  • Encontrar uma possível componente y da velocidade (ou seja, achar v(x,y)) para escoamento incompressível em regime permanente.
  • Dizer se essa mesma expressão é válida para escoamento incompressível em regime não permanente e explicar por quê.
  • Dizer quantas soluções possíveis existem para a componente y.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O escoamento é bidimensional (apenas u e v em x,y).
  • Para escoamento incompressível vale a equação da continuidade bidimensional:
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0.
  • Não foram dadas condições de contorno ou valores em fronteira, logo espera-se uma família de soluções (constante de integração funcional).

Passo 2

Vamos usar a equação da continuidade e calcular \partial u/\partial x. Esta é a ideia central: incompressibilidade significa que a soma das taxas de variação das componentes de velocidade nas direções correspondentes deve ser zero — geometricamente, o fluido não “cria” nem “destrói” volume localmente.
Calculemos \partial u/\partial x para a função dada:
u(x,y)=3x^{2}y-y^{3}.
Diferenciando em relação a x (tratando y como constante):
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}y\bigr)-\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{3}\bigr)=6xy-0=6xy.

Passo 3

A equação da continuidade impõe
\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{\partial u}{\partial x}=-6xy.
Agora integramos essa expressão em relação a y para obter v. Ao integrar uma derivada parcial \partial v/\partial y em y, a “constante” de integração pode depender de x (porque estamos integrando só em y).
Integração:
v(x,y)=\int -6xy\,dy = -6x\int y\,dy = -6x\cdot\frac{y^{2}}{2} + g(x) = -3x y^{2} + g(x),
onde g(x) é uma função arbitrária de x (a constante de integração, que pode variar com x).
Expliquei por que apareceu g(x): quando se integra \partial v/\partial y em relação a y, o termo de integração pode depender de x porque a derivada parcial em y não traz informação sobre variações puramente em x.

Passo 4

Verificação direta (para nos deixar tranquilos): calcule \partial v/\partial y a partir da solução e veja se a continuidade é satisfeita.
v(x,y)=-3x y^{2}+g(x)\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial v}{\partial y}=-3x\cdot 2y=-6xy.
Somando com \partial u/\partial x=6xy obtemos
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=6xy-6xy=0,
ou seja, a continuidade é satisfeita. Portanto qualquer função g(x) dá uma componente v compatível com incompressibilidade (no caso estacionário).

Passo 5

Agora sobre a validade no regime não permanente (isto é, escoamento dependente do tempo). A equação da continuidade para escoamento incompressível e de densidade constante continua sendo, no plano,
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0
em cada instante de tempo t. Se a componente u fornecida não depende de t (como no enunciado), a relação espacial entre \partial v/\partial y e \partial u/\partial x é a mesma em todo instante:
\frac{\partial v}{\partial y}(x,y,t)=-6xy.
Ao integrar em y podemos obter agora
v(x,y,t)=-3x y^{2}+G(x,t),
onde G(x,t) é uma função arbitrária de x e t. Ou seja:
  • A solução estacionária v(x,y)=-3x y^{2}+g(x) é um caso particular com G(x,t)=g(x) (independente de t), portanto ela também é válida para um escoamento não permanente se aceitarmos que a componente v não depende do tempo.
  • Porém, no caso não permanente a função de integração pode depender de t, dando mais liberdade: G(x,t).
Resumo: a forma básica -3x y^{2} é obrigatória (vem da integração), mas o termo adicional pode ser g(x) no caso permanente e G(x,t) no caso não permanente.

Passo 6

Quantas são as possíveis componentes y? Como apareceu uma função arbitrária g(x) (ou G(x,t)), há infinitas soluções: a família de soluções é parametrizada por uma função arbitrária de uma variável. Em termos práticos:
  • Para regime permanente: todas as funções da forma
v(x,y)=-3x y^{2}+g(x),
com g(x) qualquer função (suficientemente suave) de x.
  • Para regime não permanente: todas as funções da forma
v(x,y,t)=-3x y^{2}+G(x,t),
com G(x,t) qualquer função de x e t.
Observação prática: condições de contorno (por exemplo velocidade prescrita em uma fronteira) determinariam g(x) ou G(x,t) e assim fixariam uma única solução entre as infinitas possíveis.

Resposta

v(x,y)=-3x y^{2}+g(x)
Sim. É válida como caso particular no regime não permanente; no caso geral não permanente a solução mais geral é v(x,y,t)=-3x y^{2}+G(x,t), permitindo dependência temporal.
Infinitas — há uma família de soluções parametrizada por uma função arbitrária ( g(x) no caso permanente, G(x,t) no caso não permanente).

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