(i) Unidade de esterilização:

Para alcançar o grau de assepsia desejado, a corrente de mosto com vazão de 5800 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}, que alimenta as dornas de fermentação, deverá ser aquecida de 30^{\circ} \mathrm{C} até 90^{\circ} \mathrm{C} utilizando vapor saturado a 152^{\circ} \mathrm{C} e 4,2 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2} \mathrm{~g}. Sua reponsabilidade é determinar a área total de transferência de calor para a realização deste serviço. Considerando que esta será constituída de um conjunto de trocadores de calor bitubulares, você deve também determinar o número de grampos em série e em paralelo que serão utilizados.
→ Dados do trocador: Posicionamento: Horizontal; Alocação dos fluidos: Mosto escoando no tubo interno; Tubo interno: 3 / 4 in de diâmetro BWG 16 (espessura 0,065 \mathrm{in} ); Tubo externo 2 in de diâmetro BWG 16 (espessura 0,065 \mathrm{in} ); Comprimento do grampo: 10 ft ; Material: Aço inox; Condutividade térmica: 15 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}).
→ Orientações: O seu gerente passou para você as seguintes instruções: (a) A velocidade de escoamento do mosto no interior do trocador deve estar entre 1,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e 2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}; (b) Assumir que o coeficiente de convecção calculado nas condições de entrada do mosto é válido para todo trocador (estimativa conservadora); (c) Os valores do fator de sujeira para as correntes de mosto e para o vapor são iguais a 0,0005 \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~K} / \mathrm{W} e 0,0001 \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~K} / \mathrm{W}, respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede que se determine a área total de transferência de calor necessária para aquecer a corrente de mosto de 30^\circ\mathrm{C} até 90^\circ\mathrm{C} usando vapor saturado a 152^\circ\mathrm{C}. Também pede que se determine como essa área será atendida por um conjunto de trocadores bitubulares (grampos) de comprimento 10\\ \mathrm{ft}: quantos grampas em série e quantos em paralelo serão usados, respeitando a orientação do gerente de projeto.
Dados fornecidos (peguei estes dados do enunciado):
  • Vazão mássica do mosto: \dot{m}=5800\\ \mathrm{kg/h}.
  • Temperatura de entrada do mosto: T_{i}=30^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura de saída desejada do mosto: T_{o}=90^\circ\mathrm{C}.
  • Vapor saturado: T_s=152^\circ\mathrm{C} (pressão e T_s fornecidos, para condensação).
  • Trocador bitubular (mosto no tubo interno):
    • Tubo interno: diâmetro nominal 3/4\\ \mathrm{in}, BWG 16, espessura t=0,065\\ \mathrm{in}.
    • Tubo externo (inner diameter do tubo externo): diâmetro nominal 2\\ \mathrm{in}, BWG 16, espessura 0,065\\ \mathrm{in}.
    • Comprimento do grampo: 10\\ \mathrm{ft}.
  • Material: aço inox, condutividade térmica k=15\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Fatores de incrustação (fouling): mosto R_{f,i}=0{,}0005\\ \mathrm{m^2K/W}, vapor R_{f,o}=0{,}0001\\ \mathrm{m^2K/W}.
  • Restrições do gerente:
    • Velocidade do mosto no interior do tubo entre 1{,}5\\ \mathrm{m/s} e 2{,}0\\ \mathrm{m/s}.
    • Usar o coeficiente de convecção calculado nas condições de entrada do mosto para todo o trocador (estimativa conservadora).
O que vou determinar:
  1. Área total de troca A.
  2. Quantos grampas em paralelo (para satisfazer a velocidade).
  3. Quantos grampas em série (para alcançar a área total), e o número total de grampas.

Passo 2

Conversões e definição das geometria e grandezas básicas (tudo retirado / convertido a partir dos dados do enunciado).
  • Vazão mássica: \displaystyle \dot{m}=\frac{5800}{3600}=1{,}61111\\ \mathrm{kg/s}.
  • Comprimento do grampo: 10\\ \mathrm{ft}=10\times0{,}3048=3{,}048\\ \mathrm{m}.
  • Espessura dos tubos: t=0{,}065\\ \mathrm{in}=0{,}065\times0{,}0254=0{,}001651\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetros nominais (assumo o diâmetro nominal dado como diâmetro externo do tubo interno e externo do tubo externo, que é usual em especificações de tubos):
    • Tubo interno (diâmetro externo): D_{in,ext}=0{,}75\\ \mathrm{in}=0{,}75\times0{,}0254=0{,}01905\\ \mathrm{m}.
    • Tubo interno (diâmetro interno): \displaystyle D_{in} = D_{in,ext}-2t = 0{,}01905-2\times0{,}001651 = 0{,}015748\\ \mathrm{m}.
    • Tubo interno, raios: r_i=\dfrac{D_{in}}{2}=0{,}007874\\ \mathrm{m}, \;r_{io}=\dfrac{D_{in,ext}}{2}=0{,}009525\\ \mathrm{m} (raio externo do tubo interno).
    • Tubo externo (diâmetro interno após espessura): \displaystyle D_{shell,int}=2{,}00-2\times0{,}065 = 1{,}87\\ \mathrm{in}=1{,}87\times0{,}0254=0{,}047498\\ \mathrm{m}.
      (este valor não será crítico porque a condensação ocorre na superfície externa do tubo interno).
  • Área de troca por grampo, referida à superfície interna do tubo (área de aquecimento do mosto por grampo): A_{\text{grampo}} = 2\pi r_i L = 2\pi(0{,}007874)(3{,}048) \approx 0{,}1508\\ \mathrm{m^2}.
Observação importante sobre propriedades do mosto: o enunciado não fornece densidade, viscosidade nem cp do mosto. Vou assumir propriedades muito próximas da água à 30^\circ\mathrm{C} (hipótese comum e conservadora quando não há tabela):
  • Densidade: \rho=995{,}7\\ \mathrm{kg/m^3} (água a 30^\circ\mathrm{C}).
  • Viscosidade dinâmica: \mu=0{,}000797\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Condutividade térmica: k_f=0{,}613\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Calor específico: c_p=4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Vou explicitar essa hipótese quando for usada. Se o mosto for significativamente mais viscoso/denso, os resultados mudariam; ao final comento a sensibilidade.

Passo 3

Escolher o número de grampas em paralelo para satisfazer a restrição de velocidade do mosto no interior do(s) tubo(s).
  • Primeiro calcule a vazão volumétrica total do mosto: \dot{V}=\frac{\dot{m}}{\rho}=\frac{1{,}61111}{995{,}7}=0{,}001617\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Área de secção interna de um tubo: A_{\text{tubo}}=\frac{\pi D_{in}^2}{4}=\frac{\pi(0{,}015748)^2}{4}\approx 1{,}947\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
  • Velocidade no tubo se existir apenas um tubo: v_1=\dot{V}/A_{\text{tubo}}\approx 0{,}001617/1{,}947\times10^{-4}\approx 8{,}305\\ \mathrm{m/s}. Isso está bem acima do limite 2{,}0\\ \mathrm{m/s}, logo serão necessários vários tubos em paralelo.
  • Se tivermos N_p tubos idênticos em paralelo, a velocidade em cada tubo é v=\frac{\dot{V}}{N_p A_{\text{tubo}}}.Queremos 1{,}5\le v\le2{,}0\\ \mathrm{m/s}. Resolvo para N_p: N_p = \frac{\dot{V}}{v A_{\text{tubo}}}.Para v=2{,}0: N_p=\dfrac{0{,}001617}{2{,}0\times1{,}947\times10^{-4}}\approx4{,}16.
    Para v=1{,}5: N_p\approx5{,}55.
    Logo, o número inteiro de tubos em paralelo aceito é N_p=5 ou 6 (4 daria velocidade ligeiramente acima de 2{,}0\\ \mathrm{m/s}, portanto não é permitido).
  • Escolho N_p=5 (é uma escolha conservadora e prática: atende a restrição e evita tubos extras desnecessários). Com isso a velocidade em cada tubo é v=\frac{0{,}001617}{5\times1{,}947\times10^{-4}} \approx 1{,}661\\ \mathrm{m/s},que está dentro do intervalo pedido.
Comentário: esta escolha define o regime de escoamento com o qual calcularemos o coeficiente convectivo no interior do tubo.

Passo 4

Cálculo do coeficiente convectivo interno h_i (mosto dentro do tubo) usando correlação para escoamento interno turbulento — Dittus–Boelter — avaliada nas condições de entrada do mosto (instrução do gerente).
Explicação curta da metodologia (didática):
  • Para escoamento forçado dentro de tubos, calcula-se o número de Reynolds \mathrm{Re}=\dfrac{\rho v D}{\mu} e o número de Prandtl \mathrm{Pr}=\dfrac{\mu c_p}{k_f}.
  • Para escoamento turbulento plenamente desenvolvido e superfície relativamente lisa, a correlação prática é a de Dittus–Boelter: \mathrm{Nu}=0{,}023\,\mathrm{Re}^{0{,}8}\mathrm{Pr}^{0{,}4},e então h=\dfrac{\mathrm{Nu}\,k_f}{D}.
    Cada símbolo:
    • \mathrm{Nu}: número de Nusselt (adimensional).
    • \mathrm{Re}: número de Reynolds (adimensional).
    • \mathrm{Pr}: número de Prandtl (adimensional).
    • k_f: condutividade térmica do fluido.
    • D: diâmetro hidráulico (aqui D_{in}).
Cálculo numérico:
  • \mathrm{Re}=\dfrac{\rho v D_{in}}{\mu}=\dfrac{995{,}7\times1{,}661\times0{,}015748}{0{,}000797}\approx 3{,}27\times10^{4}.
  • \mathrm{Pr}=\dfrac{\mu c_p}{k_f}=\dfrac{0{,}000797\times4180}{0{,}613}\approx 5{,}44.
  • \mathrm{Nu}=0{,}023\times(3{,}267\times10^{4})^{0{,}8}\times(5{,}44)^{0{,}4}\approx 1{,}84\times10^{2}.
  • Logo h_i=\frac{\mathrm{Nu}\,k_f}{D_{in}} \approx \frac{184{,}16\times0{,}613}{0{,}015748}\approx 7{,}166\\ \times10^{3}\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
Interpretação: esse valor alto de h_i ocorre porque o diâmetro é pequeno e o escoamento é turbulento — isso favorece trocas térmicas internas.

Passo 5

Estimativa do coeficiente do lado do vapor condensante h_o.
Explicação e escolha: o vapor está condensando na superfície externa do tubo interno; a transferência por condensação é, geralmente, muito eficiente — o coeficiente local de condensação pode ficar na casa de 10^4\\ \mathrm{W/(m^2K)} (dependendo de geometria, inclinação, presença de filme, etc.). Como o enunciado não dá propriedades detalhadas nem a fórmula de Nusselt para condensação, adoto um valor conservador e realista para condensação em tubos horizontais com filme livre:
h_o \approx 1{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
Também é fornecido um fator de incrustação do vapor muito pequeno ( R_{f,o}=0{,}0001\\ \mathrm{m^2K/W}), o que confirma que o lado do vapor é de alta condutância.
Obs.: Se o projetista dispuser de propriedades do condensado (viscosidade, calor latente, etc.), pode-se usar a correlação de Nusselt para condensação em cilindro horizontal para estimar h_o de forma mais rigorosa. A escolha acima é uma hipótese prática.

Passo 6

Cálculo do coeficiente global de transferência de calor U (referido à área interna do tubo) incluindo resistências de convecção, incrustação e condução na parede.
Montagem da expressão (derivação breve e intuitiva):
  • As resistências térmicas em série, referidas à área interna A_i=2\pi r_i L, são:
    • Resistência de convecção interna: 1/(h_i) (por unidade de área interna).
    • Resistência de incrustação interna: R_{f,i} (já em \mathrm{m^2K/W} por área interna).
    • Resistência de condução através da parede do tubo (transformada para referência à área interna): r_i\ln(r_{io}/r_i)/k.
    • Resistência do lado externo referida à área interna: (r_i/r_{io})(1/h_o + R_{f,o}) (porque o lado externo está na superfície com raio r_{io}).
Portanto, a expressão final (referida à área interna) é:
\frac{1}{U_i} = \frac{1}{h_i} + R_{f,i} + \frac{r_i\ln\!\left(\dfrac{r_{io}}{r_i}\right)}{k} + \frac{r_i}{r_{io}}\left(\frac{1}{h_o}+R_{f,o}\right).
Substituindo os valores:
  • h_i\approx7{,}166\times10^{3}\\ \mathrm{W/(m^2K)}\Rightarrow 1/h_i\approx1{,}396\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2K/W}.
  • R_{f,i}=0{,}0005\\ \mathrm{m^2K/W}.
  • r_i=0{,}007874\\ \mathrm{m},\; r_{io}=0{,}009525\\ \mathrm{m}.
  • \ln(r_{io}/r_i)=\ln(1{,}2096)\approx0{,}1908.
  • \dfrac{r_i\ln(r_{io}/r_i)}{k} = \dfrac{0{,}007874\times0{,}1908}{15}\approx 1{,}0014\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2K/W}.
  • \dfrac{r_i}{r_{io}}=\dfrac{0{,}007874}{0{,}009525}\approx0{,}8266.
  • \dfrac{1}{h_o}+R_{f,o} = \dfrac{1}{1{,}0\times10^{4}}+0{,}0001 = 0{,}0001+0{,}0001 = 2{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2K/W}.
  • Então \dfrac{r_i}{r_{io}}(\dfrac{1}{h_o}+R_{f,o})\approx 0{,}8266\times2{,}0\times10^{-4}\approx1{,}653\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2K/W}.
Somando as parcelas:
\frac{1}{U_i} \approx 1{,}396\times10^{-4} + 5{,}0\times10^{-4} + 1{,}001\times10^{-4} + 1{,}653\times10^{-4} \approx 9{,}0506\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2K/W}.
Logo
U_i \approx \frac{1}{9{,}0506\times10^{-4}} \approx 1{,}104{,}4\\ \mathrm{W/(m^2K)}\times10^{3} \;=\;1{,}104{,}4\\ \mathrm{kW/(m^2K)}?
Corrigindo notação: U_i\approx1{,}104{,}4\\ \mathrm{W/(m^2K)}\times10^{3} foi forma confusa — o valor numérico é
U_i \approx 1{,}104{,}4\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}\times10^{3}\\ \text{(isto está errado na escrita)}.á
Vamos escrever o número corretamente:
U_i \approx \frac{1}{9{,}0506\times10^{-4}}\approx 1104{,}4\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
(ou seja, U_i\approx1{,}10\times10^{3}\\ \mathrm{W/(m^2K)}).
Interpretação: o valor de U fica da ordem de 10^3\\ \mathrm{W/(m^2K)}, coerente com trocadores com condensação de vapor e tubos finos.

Passo 7

Cálculo do dever térmico Q, diferença de temperatura média logarítmica (LMTD) e área total requerida A.
  • Dever térmico necessário para aquecer o mosto:
    Q=\dot{m} c_p (T_o-T_i)=1{,}61111\times4180\times(90-30)=1{,}61111\times4180\times60.
    Calculando:
    Q\approx1{,}61111\times250800\approx404666\\ \mathrm{W}\approx404{,}7\\ \mathrm{kW}.
  • Como o vapor permanece praticamente à temperatura constante T_s (condensação), as diferenças de temperatura nas extremidades são:
    \Delta T_1 = T_s-T_o = 152-90 = 62\\ \mathrm{K},
\Delta T_2 = T_s-T_i = 152-30 = 122\\ \mathrm{K}.
LMTD (log-mean temperature difference) é
\Delta T_{lm} = \frac{\Delta T_2-\Delta T_1}{\ln(\Delta T_2/\Delta T_1)} = \frac{122-62}{\ln(122/62)}\approx \frac{60}{0{,}6769}\approx 88{,}67\\ \mathrm{K}.
  • Área total necessária (referida à área interna): A=\frac{Q}{U_i\,\Delta T_{lm}} = \frac{404666}{1104{,}4\times88{,}67}\approx \frac{404666}{97{,}889}\approx 4{,}133\\ \mathrm{m^2}.
Conclusão desta etapa: é necessária uma área de troca total de cerca de \boxed{4{,}13\\ \mathrm{m^2}} (referida à superfície interna dos tubos).

Passo 8

Determinar quantos grampas em série e quantos em paralelo são necessários, usando N_p=5 tubos em paralelo (decidido no Passo 3) e sabendo que cada grampo tem área A_{\text{grampo}} (Passo 2).
  • Área por grampo por tubo (superfície interna por grampo): A_{\text{grampo}}\approx0{,}15078\\ \mathrm{m^2}.
  • Área total fornecida por uma “fileira” de grampas (isto é, um grampo em cada ramal paralelo) = N_p\times A_{\text{grampo}} = 5\times0{,}15078 \approx 0{,}7539\\ \mathrm{m^2}.
  • Número de grampas em série necessárias (arredondando para cima para garantir área suficiente): N_s = \left\lceil\frac{A}{N_p A_{\text{grampo}}}\right\rceil = \left\lceil\frac{4{,}133}{0{,}7539}\right\rceil = \lceil5{,}48\rceil = 6.
  • Logo o número total de grampas é N_{\text{total}}=N_p\times N_s = 5\times6 = 30.
Verificação da restrição de velocidade: com N_p=5 a velocidade em cada tubo ficou v\approx1{,}661\\ \mathrm{m/s}, dentro do intervalo pedido 1{,}5 2{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Também verificar comprimento por ramo em série: cada ramo (um conjunto de 6 grampas em série) terá comprimento total de 6\times3{,}048=18{,}288\\ \mathrm{m} de tubo interno.

Passo 9

Resumo das hipóteses, comentários práticos e recomendações (didáticos e úteis para prova e projeto).
  • Hipóteses importantes feitas:
    • Propriedades do mosto substituídas pelas da água em 30^\circ\mathrm{C}: \rho=995{,}7\\ \mathrm{kg/m^3}, \mu=7{,}97\times10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s}, c_p=4180\\ \mathrm{J/(kgK)}, k_f=0{,}613\\ \mathrm{W/(mK)}.
    • Coeficiente do lado do vapor estimado por aproximação: h_o=1{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{W/(m^2K)}. Esta é uma hipótese prática para condensação por filme; usar correlação de Nusselt para condensação daria um valor mais rigoroso.
  • Sensibilidade: o número final de grampas depende fortemente de:
    • a densidade usada (afeta N_p pela vazão volumétrica),
    • o valor de h_o (um h_o maior reduziria a área necessária),
    • e dos fatores de fouling.
  • Recomendações de projeto:
    • Arredondar sempre para cima o número de grampas em série e em paralelo (já arredondei para N_s=6 e N_p=5).
    • Verificar propriedades reais do mosto (especialmente viscosidade e cp) e recalcular h_i se o mosto for mais viscoso — isso pode exigir mais tubos em paralelo.
    • Implementar um pequeno fator de segurança adicional (por exemplo +10% de área) para permitir redução de rendimento com incrustação ao longo do tempo. Se aplicar +10%: A_{\text{proj}} \approx 4{,}55\\ \mathrm{m^2}, que implicaria possivelmente N_s=7 com N_p=5 (total 35 grampas). Em projeto real é comum este tipo de margem.

Resposta

Área total de transferência de calor: 4{,}13\\ \mathrm{m^2}
Número de grampas em paralelo: 5
Número de grampas em série: 6
Número total de grampas: 30

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