[03](1,0) Uma bateria de E=12 volts é conectada a um circuito em série no qual a indutância é L=12 Henry e a resistência é R=10 ohms. Determine a corrente i se a corrente inicial for i(0)=10 A.
L d id t+R i=E

Passo 1

O enunciado descreve um circuito RL em série alimentado por uma fonte de tensão E=12 V, com indutância L=tfrac12 H e resistência R=10, Omega. A corrente satisfaz a equação diferencial
Ldidt + R,i = E
com condição inicial i(0)=10 A. O conteúdo é solução de ODE linear de primeira ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Colocamos a equação no formato padrão dividindo por L:
didt + RL ,i = EL
Como tfracRL = tfrac101/2=20 s ^-1 e tfracEL=tfrac121/2=24, fica
didt + 20,i = 24

Passo 3

Resolvemos primeiro a equação homogênea
dihdt + 20,ih = 0,
cuja solução é
ih(t) = A e^-20t,
onde A é constante a determinar.

Passo 4

Procuramos uma solução particular constante ip. Substituindo em didt=0 na eq. não homogênea dá
20,ip = 24 Longrightarrow ip = 2420 = 65

Passo 5

A solução geral é
i(t) = ip + ih(t) = 65 + A e^-20t
Usando i(0)=10 obtemos
10 = 65 + A Longrightarrow A = 10 - 65 = 50-65 = 445

Resposta

i(t) = 65 + 445,e^-20t (A)

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